Question

（2011•东台市二模）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E．
（1）求证：D为BC的中点；
（2）过点O作OF⊥AC，于F，若AF=

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4

，BC=2，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角，以及三线合一定理即可证得；
（2）先根据垂径定理，求得AE=2AF=

7

2

；再运用圆周角定理的推论得∠ADB=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°，从而可证得∴△BEC∽△ADC，即CD：CE=AC：BC，根据此关系列方程求解即可得⊙O的直径．

解答：解：（1）连接AD

∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴点D是BC的中点；
（2）∵OF⊥AC于F，AF=

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4

，
∴AE=2AF=

7

2

连接BE，
∵AB为直径 D、E在圆上
∴∠ADB=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°
∴在△BEC、△ADC中，
∠BEC=∠ADC，∠C=∠C
∴△BEC∽△ADC
即CD：CE=AC：BC
∵D为BC中点
∴CD=

1

2

BC
又∵AC=AB
∴

1

2

BC²=CE•AB
设AB=x，可得  x（x-

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2

）=2，解得x₁=-

1

2

（舍去），x₂=4．
∴⊙O的直径为4．

点评：本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质等知识，应注意发散思维能力的培养．