Question

如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C，对称轴为直线l：，该抛物线与x轴的另一个交点为B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P在直线l上，求出使△PAC的周长最小的点P的坐标；
（3）点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）此抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）（x+3）=﹣x²﹣2x+3；
（2）P点坐标为（﹣1，2）；
（3）M点坐标为（﹣2，3）或（﹣4，﹣5）或（4，﹣21）．

解析试题分析：（1）根据抛物线的交点式可求此抛物线的解析式；
（2）直线BC与对称轴直线l：x=﹣1的交点即为所求使△PAC的周长最小的点P的坐标；
（3）讨论：当以AB为对角线，利用NA=MB和四边形ANBM为平行四边形，则可确定M的横坐标，然后代入抛物线解析式得到M点的纵坐标；当以AB为边时，根据平行四边形的性质得到MN=AB=4，则可确定M的横坐标，然后代入抛物线解析式得到M点的纵坐标．
试题解析：（1）直线y=﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，
当y=0时，﹣3x+3=0，解得x=1，
则A点坐标为（1，0）；
当x=0时，y=3，
则C点坐标为（0，3）；
抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
则B点坐标为（﹣3，0）；
把C（0，3）代入y=a（x﹣1）（x+3）得3=﹣3a，
解得a=﹣1，
则此抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）（x+3）=﹣x²﹣2x+3；
（2）连接BC，交对称轴于点P，如图1，

设直线BC的关系式为：y=mx+n，
把B（﹣3，0），C（0，3）代入y=mx+n得，
解得，
∴直线bC的关系式为y=x+3，
当x=﹣1时，y=﹣1+3=2，
∴P点坐标为（﹣1，2）；
（3）当以AB为对角线，如图2，

∵四边形AMBN为平行四边形，
A点横坐标为1，N点横坐标为0，B点横坐标为﹣3，
∴M点横坐标为﹣2，
∴M点纵坐标为y=﹣4+4+3=3，
∴M点坐标为（﹣2，3）；
当以AB为边时，如图3，

∵四边形ABMN为平行四边形，
∴MN=AB=4，即M₁N=4，M₂N=4，
∴F₁的横坐标为﹣4，F₂的横坐标为4，
对于y=﹣x²﹣2x+3，
当x=﹣4时，y=﹣16+8+3=﹣5；
当x=4时，y=﹣16﹣8+3=﹣21，
∴M点坐标为（﹣4，﹣5）或（4，﹣21）．
综上所述，M点坐标为（﹣2，3）或（﹣4，﹣5）或（4，﹣21）．
考点：二次函数综合题．