Question

已知关于x的方程mx²﹣3（m+1）x+2m+3=0．
（1）求证：无论m取任何实数，该方程总有实数根；
（2）若m≠0，抛物线y=mx²﹣3（m+1）x+2m+3与x轴的交点到原点的距离小于2，且交点的横坐标是整数，求m的整数值．

Answer 1

（1）详见解析；（2）m的值为﹣1或1．

解析试题分析：（1）先分两种情况讨论，当m=0时方程的解为1和当m≠0时，△=b²-4ac=m+2）²≥0有实数根，得出无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）对于抛物线解析式，令y=0，表示出x，根据抛物线与x轴交点的横坐标都是整数，根据x的范围即可确定出m的整数值．
解：（1）当m=0时，方程为-3x+3=0，x=1，此一元一次方程有实根，
当m≠0时，∵方程有实数根，
∴△≥0，即[﹣3（m+1）]²﹣4m（2m+3）=（m+3）²≥0，
则m取任何值方程都有实数根；
（2）设y=0，则mx²﹣3（m+1）x+2m+3=0．
∵△=（m+3）²，
∴x=，
∴x₁=，x₂=1，
当x₁=是整数时，可得m=1或m=﹣1或m=3，
∵|x|＜2，m=3不合题意舍去，
∴m的值为﹣1或1．
考点：1.抛物线与x轴的交点；2.一元一次方程的解；3.根的判别式．