题目内容
如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)交x轴于A、B两点,交y轴于C点,A点在B点的左侧,已知B点坐标为(8、0),tan∠ABC=1 | 2 |
(1)求:抛物线的解析式;
(2)若动直线EF(EF∥x轴),从C点开始,以每秒1个长度单位的速度向X轴方向平移,与x轴重合时结束,并且分别交y轴、线段CB于E、F两点.动点P同时从B点出发在线段OB上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动,运动到O点结束,连接FP,设运动时间为t秒,是否存在t的值,使以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
(3)在(2)的条件下,设AC与EF交于点M,求当t为何值时,M、P、A、F所围成的图形是平行四边形、等腰梯形和等腰直角三角形?
分析:(1)在Rt△ABC中,由于B点坐标为(8、0),tan∠ABC=
,由此可以求出OC的长度,也就求出C的坐标,又△ABC的面积为8,由此可以求出线段AB的长度,然后就可以求出A的坐标,最后利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)存在,首先可以分别求出BA、AC、BC的长度,同时也可以用t分别表示BP、BF的长度,然后利用相似三角形的性质即可求解;
(3)根据(2)MF∥AP,同时BP=2t,BF=4
-
t,那么AP也可以用t表示,然后分别利用平行四边形、等腰梯形和等腰直角三角形的性质即可的关于t的方程解决问题.
1 |
2 |
(2)存在,首先可以分别求出BA、AC、BC的长度,同时也可以用t分别表示BP、BF的长度,然后利用相似三角形的性质即可求解;
(3)根据(2)MF∥AP,同时BP=2t,BF=4
5 |
5 |
解答:解:(1)在Rt△ABC中,∵B点坐标为(8、0),tan∠ABC=
,
∴OB=8,
而tan∠ABC=
=
,
∴OC=4,
∴C(0,4),
又∵△ABC的面积为8,
∴8=
×4×AB,
∴AB=4,即OA=OB-AB=8-4=4,
∴A(4,0),
依题意得
,
解之得:a=
,b=-
,c=4,
∴y=
x2-
x+4;
(2)存在,根据(1)得BA=4,AC=4
,BC=4
,
依题意得:BP=2t,
∵CE=t,tan∠ABC=
,
∴EF=2t,∴CF=
t,
∴BF=4
-
t
由△BPF∽△BAC得
=
,得t1=
由△BPF∽△BCA得
=
化简,t2=
所以:t1=
,t2=
;
(3)根据(2)得BP=2t,MF∥AP,
又直线AC经过A(4,0),C(0,4),那么其解析式为:y=-x+4,
而动直线EF(EF∥x轴),从C点开始,以每秒1个长度单位的速度向x轴方向平移,与x轴重合时结束,并且分别交y轴、线段CB于E、F两点,AC与EF交于点M,M的纵坐标为4-t,
∴M的横坐标为t,
而EF:OB=CE:OC,
∴EF=2t,
∴MF=2t-t=t,AP=OB-OA-BP=8-4-2t,
若M、P、A、F所围成的图形是平行四边形,那么MF=AP,
∴t=8-4-2t=4-2t,
∴t=
;
若M、P、A、F所围成的图形是等腰梯形,那么AM=PF,
∴t=
,
若M、P、A、F所围成的图形是等腰直角三角形,
那么AP重合,
∴t=2.
1 |
2 |
∴OB=8,
而tan∠ABC=
OC |
OB |
1 |
2 |
∴OC=4,
∴C(0,4),
又∵△ABC的面积为8,
∴8=
1 |
2 |
∴AB=4,即OA=OB-AB=8-4=4,
∴A(4,0),
依题意得
|
解之得:a=
1 |
8 |
3 |
2 |
∴y=
1 |
8 |
3 |
2 |
(2)存在,根据(1)得BA=4,AC=4
2 |
5 |
依题意得:BP=2t,
∵CE=t,tan∠ABC=
1 |
2 |
∴EF=2t,∴CF=
5 |
∴BF=4
5 |
5 |
由△BPF∽△BAC得
4
| ||||
4
|
2t |
4 |
4 |
3 |
由△BPF∽△BCA得
4
| ||||
4 |
2t | ||
4
|
20 |
7 |
所以:t1=
4 |
3 |
20 |
7 |
(3)根据(2)得BP=2t,MF∥AP,
又直线AC经过A(4,0),C(0,4),那么其解析式为:y=-x+4,
而动直线EF(EF∥x轴),从C点开始,以每秒1个长度单位的速度向x轴方向平移,与x轴重合时结束,并且分别交y轴、线段CB于E、F两点,AC与EF交于点M,M的纵坐标为4-t,
∴M的横坐标为t,
而EF:OB=CE:OC,
∴EF=2t,
∴MF=2t-t=t,AP=OB-OA-BP=8-4-2t,
若M、P、A、F所围成的图形是平行四边形,那么MF=AP,
∴t=8-4-2t=4-2t,
∴t=
4 |
3 |
若M、P、A、F所围成的图形是等腰梯形,那么AM=PF,
∴t=
12 |
5 |
若M、P、A、F所围成的图形是等腰直角三角形,
那么AP重合,
∴t=2.
点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式、相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质、等腰梯形、等腰直角三角形的性质和三角形的面积求法.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.
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