Question

在数学中，为了简便，记

n

k=1

k=1+2+3+…+（n-1）+n，

n

k=1

(x+k)=（x+1）+（x+2）+…+（x+n）．
（1）请你用以上记法表示：1+2+3+…+2012=

 

；
（2）化简

10

k=1

(x-k)；
（3）化简

3

k=1

[（x-k）（x-k-1）]．

Answer 1

考点：有理数的混合运算

专题：新定义

分析：（1）根据题意，令n=2012，代入

n

k=1

k=1+2+3+…+（n-1）+n，即可得到结果；
（2）根据题意总结规律

10

k=1

(x-k)=（x-1）+（x-2）+…+（x-n），令n=10代入，去括号合并即可得出结果；
（3）根据总结的规律，令k=1，2，3分别代入（x-k）（x-k-1）中，并把求出三个式子相加，利用多项式的乘法法则化简，合并同类项后即可得到最后结果．

解答：解：（1）根据

n

k=1

k=1+2+3+…+（n-1）+n，
令n=2012，得到1+2+3+…+2012=

2012

k=1

；
（2）根据题意得：

10

k=1

(x-k)=（x-1）+（x-2）+（x-3）+…+（x-10）
=10x-（1+2+3+…+10）=10x-55；
（3）根据题意得：

3

k=1

[（x-k）（x-k-1）]
=（x-1）（x-2）+（x-2）（x-3）+（x-3）（x-4）
=x²-3x+2+x²-5x+6+x²-7x+12
=3x²-15x+20．
故答案为：

2012

k=1

．

点评：此题考查了整式的混合运算，以及新定义．此题培养了学生发现问题，分析问题的能力，以及归纳总结的能力．认真观察题中的新定义，得出相应的一般性的规律是解本题的关键．