Question

如图，在平面直角坐标系中，已知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（4，6）、B（0，0）、C（6，0）．
（1）求AO、AB所在直线的函数解析式；
（2）在△AOB内可以作一个正方形CDEF，使它的三个顶点分别落在边AO、AB上，E、F两个顶点落在OB上，请求出这个正方形四个顶眯的坐标，并在图中画出这个正方形；
（3）连接OC，在线段OC上任取一点P，过P作与x轴、y轴的不行线与OA、OB分别交于M、N两点，过M作OB边的垂线与OB交于H；你有什么发现？请写出来，并说明理由．

Answer 1

（1）设OA所在直线的解析式为：y=k₁x，
把A（4，6）代入得4k₁=6，∴k1=

3

2

∴AO所在直线的解析式为：y=

3

2

x（2分）
设AB所在直线的解析式为：y=k₂x+b，
把A（4，6）、B（6，0）代入得

4k2+b=6 6k2+b=0

，
解得

k2=-3 b=18

，
∴AB所在直线的解析式为：y=-3x+18．（4分）

（2）过A作AS⊥OB于S，交CD于T．
∵DC∥EF，
∴△ADC∽△AOB，
∴

AT

AS

=

CD

OB

．
∵A（4，6），B（6，0），
∴OB=6，AS=6，

AT

6

=

CD

6

，
∴AT=DC=TS=3，故可设D（x，3），
∵D（x，3）在y=

3

2

x的图象上，
∴x=2，故D（2，3），（6分）
可设C点的坐标为（x，3）
∵CD=3，
∴x-2=3，即x=5，
∴C（5，3），（7分）
又∵是DE、CF都垂直于OB且DE=CF，
∴E、F两点的坐标分别为：E（2，0）、F（5，0）．（8分）

（3）四边形MHNP是矩形．（9分）
∵DC∥PM，PN∥FC
∴

MP

DC

=

OP

OC

，

PN

CF

=

OP

OC

（10分）
∴

MP

DC

=

PN

CF

．
又∵四边形EFCG是正方形，DC=CF．
∴MP=NP，而MH⊥OB，PN⊥OB，
∴四边形MHNP是正方形．（12分）