Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上，tan∠ABC=，点P在线段OC上，且PO、PC的长（PO＜PC）是方程x²-12x+27=0的两根．
（1）求P点坐标；
（2）求AP的长；
（3）在x轴上是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据PO、PC的长（PO＜PC）是方程x²-12x+27=0的两根．解方程x²-12x+27=0，得x₁=3，x₂=9，得PO=3．即P（0，-3）；
（2）由（1）可知，PO=3，PC=9，OC=12，∠ABC=∠ACO，所以tan∠ACO=，可求得A（-9，0），所以AP=；
（3）先根据梯形的性质求出对应的点Q的坐标，再利用待定系数解出直线PQ解析式为：y=-x-3或y=-x-3．
解答：解：（1）解方程x²-12x+27=0，得x₁=3，x₂=9，
∵PO＜PC，
∴PO=3，
∴P（0，-3）；

（2）∵PO=3，PC=9，
∴OC=12，
∵∠ABC=∠ACO，
∴tan∠ACO=，
∴OA=9，
∴A（-9，0），
∴AP=；

（3）存在，
①当CQ∥PA时，直线PA的解析式为：y=-x-3，
∴直线CQ的解析式为：y=-x-12，
∴Q（-36，0），
∴直线PQ解析式为：y=-x-3，
②当PQ′∥AC时，直线AC的解析式为：y=-x-12，
∴直线PQ′的解析式为：y=-x-3，
综上所述：直线PQ解析式为：y=-x-3或y=-x-3，
说明：如果学生有不同于本参考答案的解题方法，只要正确，可参照本评分标准，酌情给分．
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．