题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l:yx与直线l:y=kx+b相交于点A(a,3),直线交l交y轴于点B(0,﹣5).
(1)求直线l的解析式;
(2)将△OAB沿直线l翻折得到△CAB(其中点O的对应点为点C),求证:AC∥OB;
(3)在直线BC下方以BC为边作等腰直角三角形BCP,直接写出点P的坐标.
【答案】(1)直线l的解析式为y=2x﹣5;(2)证明见解析;(3)P1(0,﹣9),P2(7,﹣6),P3(,).
【解析】
(1)解方程得到A(4,3),待定系数法即可得到结论;
(2)根据勾股定理得到OA=5,根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA,根据折叠的性质得到∠OAB=∠CAB,于是得到结论;
(3)如图,过C作CM⊥OB于M,求得CM=OD=4,得到C(4,-2),过P1作P1N⊥y轴于N,根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.
(1)∵直线l:yx与直线l:y=kx+b相交于点A(a,3),∴A(4,3).
∵直线交l交y轴于点B(0,﹣5),∴y=kx﹣5,
把A(4,3)代入得:3=4k﹣5,
∴k=2,
∴直线l的解析式为y=2x﹣5;
(2)∵OA5,
∴OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.
∵将△OAB沿直线l翻折得到△CAB,
∴∠OAB=∠CAB,∴∠OBA=∠CAB,
∴AC∥OB;
(3)如图,过C作CM⊥OB于M,
则CM=OD=4.
∵BC=OB=5,∴BM=3,
∴OB=2,∴C(4,﹣2),
过P1作P1N⊥y轴于N.
∵△BCP是等腰直角三角形,
∴∠CBP1=90°,∴∠MCB=∠NBP1.
∵BC=BP1,
∴△BCM≌△P1BN(AAS),
∴BN=CM=4,∴P1(0,﹣9);
同理可得:P2(7,﹣6),P3(,).
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