Question

【题目】综合题。

（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则
①∠BEC=°；②线段AD、BE之间的数量关系是 ．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，若AE=15，DE=7，求AB的长度．
（3）探究发现：
如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=5，CP=4，DP=8，求BD的长．

Answer 1

【答案】
（1）120；AD=BE
（2）

解：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中， ，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴AD=BE=AE﹣DE=15﹣7=8，∠ADC=∠BEC，

∵△DCE为等腰直角三角形

∴∠CDE=∠CED=45°．

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC=135°．

∴∠BEC=135°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

∴AB= = =17

（3）

解：把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，如图所示：

则△BEC≌△APC，

∴CE=CP，∠PCE=60°，BE=AP=5，∠BEC=∠APC=150°，

∴△PCE是等边三角形，

∴∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=4，

∴∠BED=∠BEC﹣∠PEC=90°，

∵∠APD=30°，

∴∠DPC=150°﹣30°=120°，

又∵∠DPE=∠DPC+∠EPC=120°+60°=180°，

即D、P、E在同一条直线上，

∴DE=DP+PE=8+4=12，

在Rt△BDE中， ，

即BD的长为13．

【解析】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°．
∴∠BEC=120°．
故答案为：120．
②由①得：△ACD≌△BCE，
∴AD=BE；
故答案为：AD=BE．
（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠BEC的度数．（2）同（1）证出△ACD≌△BCE，得出AD=BE=AE﹣DE=8，∠ADC=∠BEC，求出∠BEC=135°，得出∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．由勾股定理求出AB即可；（3）把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，则△BEC≌△APC，得出CE=CP，∠PCE=60°，BE=AP=5，∠BEC=∠APC=150°，证出△PCE是等边三角形，得出∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=4，求出∠BED=∠BEC﹣∠PEC=90°，证明D、P、E在同一条直线上，得出DE=DP+PE=12，再由勾股定理求出BD即可．