题目内容
如图，在平面直角坐标系中，顶点为（
，
）的抛物线交
轴于
点，交
轴于
，
两点（点在点的左侧）， 已知点坐标为（
，
）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点作线段
的垂线交抛物线于点
， 如果以点为圆心的圆与直线
相切，请判断抛物线的对称轴
与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点
是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，
的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.
（1）解：（1）设抛物线为
.
∵抛物线经过点（0，3），∴
.∴
.
∴抛物线为
. …………………3分
(2) 答：与⊙相交………………………1分
证明：当
时，
，
.
∴为（2，0），为（6，0）.∴
.…………………1分
设⊙与相切于点
，连接
，则
.
∵
，∴
.
又∵
，∴
.∴
∽
.……1分
∴
.∴
.∴
.…………………………1分
∵抛物线的对称轴为
，∴点到的距离为2.
∴抛物线的对称轴与⊙相交. ……………………………………………1分
(3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交
于点
。
可求出的解析式为
.…………………………………………1分
设点的坐标为（
，
），则点的坐标为（，
）. ∴
.
∵
,
∴当
时，的面积最大为
.
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