Question

（1）如图，A、B、C是三个居住人口数量相同的住宅小区的大门所在位置，且A、B、C三点共线，已知AB=120米，BC=200米，E、F分别是AB、BC的中点，为了方便三个小区的居民出行，公交公司计划在E点或F点设一公交停靠站点，为使从三个小区大门步行到公交停靠点的路程长之和最小，你认为公交车停靠点的位置应设在哪里，为什么？

（2）已知A、B、C三点在一条直线上，如果AB=a，BC=b，且a＜b，求线段AB和BC的中点E、F之间的距离．

Answer 1

分析：（1）根据图示，先分别计算一下从三个小区大门步行到公交停靠点E、F的路程长之和，然后比较一下大小，路程小的即为所求；
（2）根据题意，画出图示，根据图示找出EF与AB、BC的数量关系，注意分类讨论．

解答：解：（1）∵E、F分别是AB、BC的中点，AB=120米，BC=200米，
∴AE=BE=60米，BF=CF=100米；
当公交公司在E点设一公交停靠站点，则从三个小区大门步行到公交停靠点的路程长之和为：
AE+BE+CE，
=AB+BC+BE，
=120+200+60，
=380（米）；
当公交公司在F点设一公交停靠站点，则从三个小区大门步行到公交停靠点的路程长之和为：
AF+BF+CF，
=AB+BF+BC，
=120+100+200，
=420（米）；
∵380＜420，
∴公交车停靠点的位置应该是点E处；

（2）①根据题意，得，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EB=

1

2

AB，BF=

1

2

BC；
又∵EF=EB+BF，
∴EF=

1

2

（AB+BC）=

1

2

（a+b）；
②

此时FB=

1

2

b，EB=

1

2

a，
EF=FB-EB=

1

2

（b-a）．

点评：本题主要考查了两点间的距离．解答本题是，采用了数形结合的数学思想，降低了题目的难度．