题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900,AC=6,BC=8.动点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动;同时,动点N从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动.过线段MN的中点G作边AB的垂线,垂足为点G,交△ABC的另一边于点P,连接PM、PN,当点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动,设运动时间为t秒.
(1)当t= 秒时,动点M、N相遇;
(2)设△PMN的面积为S,求S与t之间的函数关系式;
(3)取线段PM的中点K,连接KA、KC,在整个运动过程中,△KAC的面积是否变化?若变化,直接写出它的最大值和最小值;若不变化,请说明理由.
【答案】(1);(2)S=;(3)在整个运动过程中,△KAC的面积会发生变化,最小值为,最大值为4.
【解析】
试题分析:(1)由∠ACB=900,AC=6,BC=8,得到AB=10,当M、N相遇时,AM+BN=AB=10,即,解得;
(2)由于N比M运动的速度快,故P先在BC上运动,然后在CA上运动.先算出当P与C重合时,所用的时间,由于相遇的时间,停止的时间,故分三种情况讨论,
①当时,M在N的左边,P先在BC上向C靠近;②当时,M在N的左边,在AC上逐渐远离C;③当时,M在N的右边,在AC上逐渐远离C.由于S==MNPG,MN=10-4t,只需要表示出三种情况中的PG即可,用三角函数计算比较简单;
(3)分两种情况讨论,①当P在BC上运动时,如图4,当P与C重合时,最小,当t=0是,M与A重合,N与B重合,如图5,此时三角形最大;②当P在CA上运动时,如图6,过K作KE⊥AC于E,过M作MF⊥AC于F,可以得到=,而,故当时,的最小值=,当时,的最大值=.综合①②可得到结论.
试题解析:(1)∵∠ACB=900,AC=6,BC=8,∴AB=10,当M、N相遇时,有,∴;
(2)∵N比M运动的速度快,∴P先在BC上运动,然后在CA上运动.当P与C重合时,∵=ACBC=ABGC,∴GC=6×8÷10=4.8,∴AG==3.6,∴BG=10-3.6=6.4,∵AM=t,BN=3t,∴MN=10-4t,MG=GN=MN==,∴,∴.
①当时,M在N的左边,P先在BC上向C靠近,如图1,
∵AM=t,BN=3t,∴MN=10-4t,MG=GN=MN==,∴GB=GN+NB==,∵tanB=,∴,∴PG=,∴S==MNPG= GNPG==;
②当时,M在N的左边,在AC上逐渐远离C,如图2,
由①可知,GN=MG=,AM=t,∴AG=MG+AM=,tanA=,∴,∴PG=,∴S==MNPG= GNPG==;
③当时,M在N的右边,在AC上逐渐远离C,如图3.
MN=NB+AM-AB==,GN=MG=,AM=t,∴AG= AM-MG ==,tanA=,∴,∴PG=,∴S==MNPG= GNPG==;
∴S=;
(3)①当P在BC上运动时,如图4,当P与C重合时,最小,过M作MF⊥AC于F,则MF∥BC,∴,,∴,∴MF=1.12,∴==ACMF==,当t=0是,M与A重合,N与B重合,此时三角形最大,如图5,此时BG=AG=5,cosB=,∴,∴PB=,∴PC=BC-PB=8-=,∴=ACPC==,∵K是AP 的中点,∴==,∴当P在BC上运动时,△KAC面积的最小值为,最大值为;
②当P在CA上运动时,如图6,过K作KE⊥AC于E,过M作MF⊥AC于F,∴EK∥FM,∵K为PM的中点,∴EK=FM,∵FM⊥AC,CB⊥AC,∴FM∥CB,∴,∴,∴FM=,∴EK=FM=,∴=ACEK==,∵,∴当时,的最小值=,当时,的最大值=.∴当P在CA上运动时,△KAC面积的最小值为,最大值为4.
综合①②可得:在整个运动过程中,△KAC的面积会发生变化,最小值为,最大值为4.