题目内容
【题目】已知:如图,直线交坐标轴于A、C两点,抛物线
过A、C两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为抛物线位于第三象限上一动点,连接PA,PC,试问△PAC是否存在最大值,若存在,请求出△APC取最大值以及点P的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)点M为抛物线上一点,点N为抛物线对称轴上一点,若△NMC是以∠NMC为直角的等腰直角三角形,请直接写出点M的坐标.
【答案】(1);(2)存在,△PAC的面积最大值为
,点P的坐标为(
,
);(3)点M的坐标为:
或
或(
,
)或(
,
).
【解析】
(1)由一次函数解析式求得A、C两点的坐标,然后代入到二次函数解析式,用待定系数法求解;
(2)过点P作PQ⊥x轴,垂足为Q,直线PQ,AC交于点P,设点P的坐标为(,
),则点D的坐标为(
,
),根据两点间距离公式求得PD =
,然后根据三角形面积公式求得
=
=
,由此根据二次函数的性质分析最值;
(3)分情况讨论:当点M在对称轴左侧时,构造矩形EFCG,设点M的坐标为(,
),利用AAS定理证明△MEN≌△CFM,然后结合抛物线对称轴求得MF=
=
,NE=
,从而列方程求解;作MF⊥y轴,垂足为F,MF交对称轴于点E;设点M的坐标为(
,
),则ME=
,CF=
,然后列方程求解;当点M在对称轴的右侧时,过点M作EF∥x轴,分别交对称轴与y轴于点E和点F.设点M的坐标为(
,
),然后结合抛物线对称轴求得ME=
=
,CF=
=
,然后列方程求解;作ME⊥对称轴,垂足为E,ME交NC,交点为F.设点M的坐标为(
,
),则ME=
,CF=
,然后列方程求解.
解:(1)交x轴于A(-3,0),交y轴于C(0,-3),
∵抛物线经过点A(-3,0),点C(0,-3),
∴,解得
,
∴抛物线解析式为:;
(2)如图2,过点P作PQ⊥x轴,垂足为Q,直线PQ,AC交于点P,
设点P的坐标为(,
),则点D的坐标为(
,
),
∴线段PD的长为:()-(
)=
,
∵,
,
∴=
=
=
=
,
∵,∴当
时候,△PAC的面积又最大值,最大值为
,
此时点P的坐标为(,
);
(3)①如图3,当点M在对称轴左侧时,构造矩形EFCG,设点M的坐标为(,
),
∵△NMC是以∠NMC为直角的等腰直角三角形
∴∠NME+∠CMF=90°,∠FCM+∠CMF=90°
∴∠NME=∠FCM
又∵∠E=∠F=90°,MN=MC
∴△MEN≌△CFM,
∵抛物线的对称轴为直线x=-1,
∴MF==
,NE=
,
∵MF=NE,∴,
解得(舍),
,
故点M的坐标为;
②如图6,作MF⊥y轴,垂足为F,MF交对称轴于点E;
设点M的坐标为(,
),则ME=
,CF=
,
由①同理可证△MNE≌△CFM,
∵ME=CF,故,
解得:(舍),
,
故点M的坐标为(,
);
③如图5,当点M在对称轴的右侧时,过点M作EF∥x轴,分别交对称轴与y轴于点E和点F.
设点M的坐标为(,
),
由①同理可证△MEN≌△MFC,抛物线对称轴为直线x=-1,
则ME= =
,CF=
=
,
∵ME=CF,∴,解得:
(舍),
,
故的点M的坐标 为;
④如图4,作ME⊥对称轴,垂足为E,ME交NC,交点为F.
设点M的坐标为(,
),则ME=
,CF=
,
由①同理可证△MNE≌△CFM,
∵ME=CF,故,
解得:,
(舍),
故点M的坐标为(,
);
综上可得点M的坐标为:或
或(
,
)或(
,
).

【题目】学校数学社团的同学们在学生中开展“了解校训意义”的调查活动.采取随机抽样的方式进行问卷调查.问卷调查的结果分为、
、
、
四类.
类表示非常了解;
类表示比较了解;
类表示基本了解;
类表示不太了解.(要求每位同学必须选并且只能选择一项)统计数据整理如表:
类别 | 频数 | 频率 |
20 | ||
0.3 | ||
11 | 0.22 | |
4 | 0.08 |
(1)表中__________;
(2)根据表中数据,求出类同学数所对应的扇形圆心角为_________度.
(3)根据调查结果,请你估计该校1500名学生中对校训“非常了解”的人数;
(4)学校在开展了解校训意义活动中,需要从类的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取2人参加展示活动,求恰好选中甲乙两人的概率?(请用列表法或是树状图表示)
【题目】若一个函数当自变量在不同范围内取值时,函数表达式不同,我们称这样的函数为分段函数,下面我们参照学习函数的过程与方法,探究分段函数y=的图象与性质,探究过程如下,请补充完整.
(1)列表:
x | … | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
y | … | 3 | m | 1 | 0 | 1 | 2 | 1 | n | … |
其中,m= ,n= .
(2)描点:在平面直角坐标系中,以自变量x的取值为横坐标,以相应的函数值y为纵坐标,描出相应的点,如图所示,请画出函数的图象.
(3)研究函数并结合图象与表格,回答下列问题:
①点A(,y1),B(5,y2),C(x1,
),D(x2,6)在函数图象上,则y1 y2,x1 x2;(填“>”,“=”或“<”)
②当函数值y=1时,求自变量x的值;
(4)若直线y=﹣x+b与函数图象有且只有一个交点,请直接写出b的取值范围.