题目内容
【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=15,点D是BC边上的一动点(不与B、C重合),∠ADE=∠B=∠α,DE交AB于点E,且tan∠α=.有以下的结论:①△ADE∽△ACD;②当CD=9时,△ACD与△DBE全等;③△BDE为直角三角形时,BD为12或;④0<BE≤,其中正确的结论是 (填入正确结论的序号).
【答案】②③.
【解析】
试题分析:∵∠ADE=∠B=∠α,∠EAD=∠EAD,∴△ADE∽△ABD,而△ABD不一定相似△ACD,故①不正确;
过A作AF⊥BC于F,如图1,∵AB=AC,∴BF=FC,∵tan∠α=,∠B=∠α,∴tanB=,∴cosB=,∴,∴BF=AB=12,∴BC=24,∵DC=9,∴BD=BC-DC=15,∴BD=AC,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠α=∠C,∵∠C+∠CAD=∠α+∠BDE,∴∠BDE=∠CAD,在△BED和△CDA中,∵∠BDE=∠CAD,BD=AC,∠B=∠C,∴△BDE≌△CAD,故②正确;
若△BDE为直角三角形,则有两种情况:(1)若∠BED=90°,∵∠BDE=∠CAD,∠B=∠C,∴△BDE∽△CAD,∴∠CDA=∠BED=90°,∴AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=BC=12;
(2)若∠BDE=90°,如图2,设BD=x,则DC=24-x,∵∠CAD=∠BDE=90°,∠B=∠C=∠α,∴cos∠C=cosB=,∴,解得:,∴若△BDE为直角三角形,则BD为12或,故③正确;
设BE=x,CD=y,∵△BDE∽△CAD,∴,∴,∴,∴,∴,∴,∴0<BE≤,∴故④错误;
故答案为:②③.
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