题目内容

【题目】如图,在ABC中,AB=AC=15,点D是BC边上的一动点(不与B、C重合),ADE=B=αDEAB于点E,且tan∠α=.有以下的结论:①△ADE∽△ACDCD=9时,ACDDBE全等;③△BDE为直角三角形时,BD120BE,其中正确的结论是 (填入正确结论的序号).

【答案】②③

【解析】

试题分析:ADE=B=αEAD=EAD∴△ADE∽△ABD,而ABD不一定相似ACD,故不正确;

过A作AFBC于F,如图1,AB=AC,BF=FC,tan∠α=B=αtanB=cosB=BF=AB=12BC=24DC=9BD=BCDC=15BD=ACAB=AC,∴∠B=C,∴∠α=C,∵∠C+CAD=∠α+BDE,∴∠BDE=CAD,BEDCDA中,BDE=CAD,BD=AC,B=C,∴△BDE≌△CAD,故正确;

BDE为直角三角形,则有两种情况:(1)若BED=90°BDE=CAD,B=C,∴△BDE∽△CAD,∴∠CDA=BED=90°ADBC,AB=AC,BD=BC=12;

(2)若BDE=90°,如图2,设BD=x,则DC=24-x,∵∠CAD=BDE=90°B=C=∠αcosC=cosB=,解得:BDE为直角三角形,则BD12,故正确;

设BE=x,CD=y,BDE∽△CAD,0<BE错误;

故答案为:②③.

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