题目内容

【题目】在平面直角坐标系中一次函数y=kx+4mm0)的图象经过点Bp2m),其中m0

1)若m=1k=﹣1求点B的坐标

2)已知点Am0),若直线y=kx+4mx轴交于点Cn0),n+2p=4m试判断线段AB上是否存在一点N使得点N到坐标原点O与到点C的距离之和等于线段OB的长并说明理由

【答案】1B22);(2)线段AB上存在一点N,使得点N到坐标原点O与到点C的距离之和等于线段OB的长,且NA=AB

【解析】试题分析:(1)把点代入一次函数解析式,求解方程,可得B点坐标.

2先画图,把每个已知点坐标代入一次函数解析式,得到n,p,m之间关系, Am0),Bm2m),C2m0,RtBAORtNAO中分别利用勾股定理NAm表示,ABm表示.消去m,可得NA=AB

试题解析:

1)∵一次函数y=kx+4mm0)的图象经过点Bp2m),∴2m=kp+4mkp=﹣2m

m=1k=﹣1p=2B22).

2)线段AB上存在一点N,使得点N到坐标原点O与到点C的距离之和等于线段OB的长.

理由如下:

由题意,将Bp2m),Cn0)分别代入y=kx+4m,得kp+4m=2mkn+4m=0

可得n=2p

n+2p=4m

p=mAm0),Bm2m),C2m0).

xB=xAABx轴,且 OA=AC=m,∴对于线段AB上的点N,有NO=NC

∴点N到坐标原点O与到点C的距离之和为NO+NC=2NO

∵∠BAO=90°,在Rt△BAORt△NAO中分别有

OB2=AB2+OA2=5m2NO2=NA2+OA2=NA2+m2

2NO=OB,则4NO2=OB2

4NA2+m2=5m2

可得NA= m

NA= AB

所以线段AB上存在一点N,使得点N到坐标原点O与到点C的距离之和等于线段OB的长,且NA=AB

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