题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+4m(m>0)的图象经过点B(p,2m),其中m>0.
(1)若m=1,且k=﹣1,求点B的坐标;
(2)已知点A(m,0),若直线y=kx+4m与x轴交于点C(n,0),n+2p=4m,试判断线段AB上是否存在一点N,使得点N到坐标原点O与到点C的距离之和等于线段OB的长,并说明理由.
【答案】(1)B(2,2);(2)线段AB上存在一点N,使得点N到坐标原点O与到点C的距离之和等于线段OB的长,且NA=AB.
【解析】试题分析:(1)把点代入一次函数解析式,求解方程,可得B点坐标.
(2)先画图,把每个已知点坐标代入一次函数解析式,得到n,p,m之间关系, A(m,0),B(m,2m),C(2m,0),Rt△BAO,Rt△NAO中分别利用勾股定理,NA用m表示,AB用m表示.消去m,可得NA=AB.
试题解析:
(1)∵一次函数y=kx+4m(m>0)的图象经过点B(p,2m),∴2m=kp+4m,∴kp=﹣2m.
∵m=1,k=﹣1,∴p=2,∴B(2,2).
(2)线段AB上存在一点N,使得点N到坐标原点O与到点C的距离之和等于线段OB的长.
理由如下:
由题意,将B(p,2m),C(n,0)分别代入y=kx+4m,得kp+4m=2m且kn+4m=0.
可得n=2p.
∵n+2p=4m,
∴p=m,∴A(m,0),B(m,2m),C(2m,0).
∵xB=xA,∴AB⊥x轴,且 OA=AC=m,∴对于线段AB上的点N,有NO=NC,
∴点N到坐标原点O与到点C的距离之和为NO+NC=2NO.
∵∠BAO=90°,在Rt△BAO,Rt△NAO中分别有
OB2=AB2+OA2=5m2,NO2=NA2+OA2=NA2+m2.
若2NO=OB,则4NO2=OB2.
即4(NA2+m2)=5m2.
可得NA= m.
即NA= AB.
所以线段AB上存在一点N,使得点N到坐标原点O与到点C的距离之和等于线段OB的长,且NA=AB.
