题目内容
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD⊥DC，BD=DC，CE平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点H，EN∥DC交BD于点N．下列结论：
①BH=DH；②CH=(
+1)EH；③
=
．
其中正确的是（ ）
①BH=DH；②CH=(
| 2 |
| S△ENH |
| S△EBH |
| EH |
| EC |
其中正确的是（ ）
| A．①②③ | B．只有②③ | C．只有② | D．只有③ |
①如图，过H作HM⊥BC于M，
∵CE平分∠BCD，BD⊥DC
∴DH=HM，
而在Rt△BHM中BH＞HM，
∴BH＞HD，
∴所以容易判定①是错误的；
②∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，而∠EBC=∠BDC=90°，
∴∠BEH=∠DHC，
而∠DHC=∠EHB，
∴∠BEH=∠EHB，
∴BE=BH，
设HM=x，那么DH=x，
∵BD⊥DC，BD=DC，
∴∠DBC=∠ABD=45°，
∴BH=
x=BE，
∴EN=x，
∴CD=BD=DH+BH=（
+1）x，
即
=
+1，
∵EN∥DC，
∴△DCH∽△NEH，
∴
=
=
+1，即CH=（
+1）EH；
③由②得∠BEH=∠EHB，
∵EN∥DC，
∴∠ENH=∠CDB=90°，
∴∠ENH=∠EBC，
∴△ENH∽△CBE，
∴EH：EC=NH：BE，
而
=
，
∴
=
．
所以正确的只有②③．
故选B．
∵CE平分∠BCD，BD⊥DC
∴DH=HM，
而在Rt△BHM中BH＞HM，
∴BH＞HD，
∴所以容易判定①是错误的；
②∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，而∠EBC=∠BDC=90°，
∴∠BEH=∠DHC，
而∠DHC=∠EHB，
∴∠BEH=∠EHB，
∴BE=BH，
设HM=x，那么DH=x，
∵BD⊥DC，BD=DC，
∴∠DBC=∠ABD=45°，
∴BH=
| 2 |
∴EN=x，
∴CD=BD=DH+BH=（
| 2 |
即
| CD |
| EN |
| 2 |
∵EN∥DC，
∴△DCH∽△NEH，
∴
| CH |
| EH |
| CD |
| EN |
| 2 |
| 2 |
③由②得∠BEH=∠EHB，
∵EN∥DC，
∴∠ENH=∠CDB=90°，
∴∠ENH=∠EBC，
∴△ENH∽△CBE，
∴EH：EC=NH：BE，
而
| S△ENH |
| S△EBH |
| NH |
| BH |
∴
| S△ENH |
| S△EBH |
| EH |
| EC |
所以正确的只有②③．
故选B．
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