题目内容

已知正比例函数y=kx经过点A（2，1），如图所示．
（1）求这个正比例函数的关系式．
（2）将这个正比例函数的图象向左平移4个单位，写出在这个平移下，点A、原点O的对应点A′、O′的坐标，求出平移后的直线O′A′所对应的函数关系式．
（3）已知点C的坐标为（-3，0），点P（x，y）为线段O′B上一动点（P与O′、B不重合），设△PCO的面积为S．
①求S与x之间的函数关系式及x的取值范围；
②求当S= $数学公式$ 时，点P的坐标．

解：（1）将点A（2，1）代入y=kx，得k= $\text{[math]}$ ，
故函数解析式为y= $\text{[math]}$ x；

（2）∵正比例函数的图象向左平移4个单位，
∴点A、点O均向左平移4个单位，横坐标减2，纵坐标不变，
∴A′（-2，1），O′（-4，0）．
设A′O′的解析式为y=kx+b，
将A′（-2，1），O′（-4，0）分别代入解析式，得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
故直线O′A′所对应的函数关系式为y= $\text{[math]}$ x+2．

（3）①设P点坐标为（x，y），
则S= $\text{[math]}$ •OC•y= $\text{[math]}$ ×3•y= $\text{[math]}$ ×3（ $\text{[math]}$ x+2）= $\text{[math]}$ x+3（-3＜x＜0）．
②当S= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ x+3= $\text{[math]}$ ，
解得x=- $\text{[math]}$ ，
将x=- $\text{[math]}$ 代入y= $\text{[math]}$ x+2得，y= $\text{[math]}$ ×（- $\text{[math]}$ ）+2=- $\text{[math]}$ +2= $\text{[math]}$ ，
则P点坐标为P（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）由于正比例函数y=kx经过点A（2，1），将点A（2，1）代入y=kx，求出k的值即可得到正比例函数解析式；
（2）由于点A、点O均向左平移4个单位，横坐标减2，纵坐标不变，求出A′、O′的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式；
（3）①设P点坐标为（x，y），利用三角形面积公式即可求出S与x之间的函数关系式；
②令S= $\text{[math]}$ ，代入解析式S= $\text{[math]}$ x+3，据此即可求出x的值，从而得到P的坐标．
点评：本题考查了一次函数综合题，设及待定系数法求函数解析式、三角形的面积、图形的平移等知识，是一道好题．