Question

【题目】如图，四边形内接于，是的直径，平分，过点作于点.

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）如图1（见解析），连接OC、OD，先由圆周角定理得，从而可得，再根据圆周角定理和圆心角定理可得，由此可得垂直平分，即有，从而可证，最后根据圆的切线的判定定理可证；

（2）方法一：如图2（见解析），延长交的延长线于点，先利用三角形全等求出AF和CF的长，再通过证出两个三角形相似即可得；方法二：如图1（见解析），先利用求出CE和AE的长，再利用勾股定理求出DE的长，最后根据线段的和差即可得.

（1）如图1，连接

是的直径

于点

平分，即

（圆周角定理）

（圆心角定理）

垂直平分，即有

∴CE是的切线；

（2）∵AB是的直径

由题（1）已证

方法一： 如图2，延长交的延长线于点

,（圆内接四边形的对角互补）

又

；

方法二：如图1，

在中，由勾股定理得：

.