题目内容

抛物线轴于两点,交轴于点,已知抛物线的对称轴为,
(1)求二次函数的解析式;
在抛物线对称轴上是否存在一点,使点两点距离之差最大?若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由;
平行于轴的一条直线交抛物线于两点,若以为直径的圆恰好与轴相切,求此圆的半径.
(1)将代入

代入
.……….(1)
是对称轴,
.          (2)
将(2)代入(1)得
,   
所以,二次函数得解析式是
(2)与对称轴的交点即为到的距离之差最大的点.
点的坐标为点的坐标为
∴ 直线的解析式是
又对称轴为
∴ 点的坐标.   
(3)设,所求圆的半径为r,
,……………(1)
∵ 对称轴为
∴ .        ……………(2)
由(1)、(2)得:.………(3)
代入解析式
得 ,…………(4)
整理得:
由于 r=±y,当时,
解得, , (舍去),
时,
解得, , (舍去).
所以圆的半径是
(1)根据抛物线过C点,可得出c=-3,对称轴x=1,则-=1,然后可将B点坐标代入抛物线的解析式中,联立由对称轴得出的关系式即可求出抛物线的解析式.
(2)本题的关键是要确定P点的位置,由于A、B关于抛物线的对称轴对称,因此可连接AC,那么P点就是直线AC与对称轴的交点.可根据A、C的坐标求出AC所在直线的解析式,进而可根据抛物线对称轴的解析式求出P点的坐标.
(3)根据圆和抛物线的对称性可知:圆心必在对称轴上.因此可用半径r表示出M、N的坐标,然后代入抛物线中即可求出r的值.
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