Question

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为     ，数量关系为     ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
（3）若AC＝，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

Answer 1

（1）①CF与BD位置关系是 垂 直、数量关系是相 等；
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
由正方形ADEF得  AD="AF" ，∠DAF=90º．
∵∠BAC=90º，∴∠DAF="∠BAC" ，  ∴∠DAB=∠FAC，
又AB="AC" ，∴△DAB≌△FAC ， ∴CF=BD  　　　　
∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90º， AB="AC" ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，
∴∠BCF="∠ACB+∠ACF=" 90º．即 CF⊥BD
（2）画图正确　　　　　　　
当∠BCA=45º时，CF⊥BD（如图丁）．

理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG
可证：△GAD≌△CAF   ∴∠ACF=∠AGD=45º 
∠BCF="∠ACB+∠ACF=" 90º．  即CF⊥BD
（3）当具备∠BCA=45º时，
过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊）

∵DE与CF交于点P时， ∴此时点D位于线段CQ上，
∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．设CD="x" ，∴  DQ=4—x，
容易说明△AQD∽△DCP，∴ ，  ∴，
．
∵0＜x≤3   ∴当x=2时，CP有最大值1．    

（1）首先选择图2证明，由AB=AC，∠BAC=90°，可得：△ABC是等腰直角三角形，又由四边形ADEF是正方形，易证得△ABD≌△ACF（SAS），即可求得：CF=BD，∠ACF=∠B=45°，证得CF⊥BD；
（2）过点A作AG⊥AC交BC于点G，可证△GAD≌△CAF，则∠ACF=∠AGD=45º，从而得∠BCF="∠ACB+∠ACF=" 90º， 即CF⊥BD。
（3）首先作辅助线：过点A作AG⊥BC，垂足为G，连接CF，易得：△AGD∽△DCP，由相似三角形的对应边成比例，即可求得：AG•CP=GD•DC，在等腰Rt△AGC中求得AC的值，设GD=x，即可求得CP关于x的二次函数，求得最大值．