题目内容
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．
（1）若∠C=30°，求证：BE是△DEC外接圆的切线；
（2）若BE=
，BD=1，求△DEC外接圆的直径．
（1）若∠C=30°，求证：BE是△DEC外接圆的切线；
（2）若BE=
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（1）证明：∵DE垂直平分AC，
∴∠DEC=90°，AE=CE，
∴DC为△DEC外接圆的直径，
取DC的中点O，连结OE，如图，
∵∠ABC=90°，
∴BE为Rt△ABC斜边上的中线，
∴EB=EC，
∵∠C=30°，
∴∠EBC=30°，∠EOD=2∠C=60°，
∴∠BEO=90°，
∴OE⊥BE，
而OE为⊙O的半径，
∴BE是△DEC外接圆的切线；
（2）∵BE为Rt△ABC斜边上的中线，
∴AE=EC=BE=
，
∴AC=2
，
∵∠ECD=∠BCA，
∴Rt△CED∽Rt△CBA，
∴
=
，
而CB=CD+BD=CD+1，
∴
=
，
解得CD=2或CD=-3（舍去），
∴△DEC外接圆的直径为2．
∴∠DEC=90°，AE=CE，
∴DC为△DEC外接圆的直径，
取DC的中点O，连结OE，如图，
∵∠ABC=90°，
∴BE为Rt△ABC斜边上的中线，
∴EB=EC，
∵∠C=30°，
∴∠EBC=30°，∠EOD=2∠C=60°，
∴∠BEO=90°，
∴OE⊥BE，
而OE为⊙O的半径，
∴BE是△DEC外接圆的切线；
（2）∵BE为Rt△ABC斜边上的中线，
∴AE=EC=BE=
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∴AC=2
| 3 |
∵∠ECD=∠BCA，
∴Rt△CED∽Rt△CBA，
∴
| CE |
| CB |
| CD |
| CA |
而CB=CD+BD=CD+1，
∴
| ||
| CD+1 |
| CD | ||
2
|
解得CD=2或CD=-3（舍去），
∴△DEC外接圆的直径为2．
练习册系列答案
相关题目
点F．
O交AB于点D，点E是BC的中点，连接OD，OB，DE．
件表示r．