题目内容

【题目】如图,已知⊙O的半径OA的长为2,点B是⊙O上的动点,以AB为半径的⊙A与线段OB相交于点C,AC的延长线与⊙O相交于点D.设线段AB的长为x,线段OC的长为y.

(1)求y关于x的函数解析式,并写出定义域;

(2)当四边形ABDO是梯形时,求线段OC的长.

【答案】(1),定义域为;(2)OC的长为

【解析】试题分析:由相似三角形的判定定理得出△ABC∽△OAB,根据相似三角形的性质得出BC,再由OC=OB–BC得出y关于x的函数解析式;(2)由梯形的性质分情况讨论:当OD//A B时,由相似三角形对应边成比例得出AB的值,进而得出OC的长; ②当BD//OA时, 设∠ODA= ,由两直线平行内错角相等和等边对等角得到∠ADB=α,由同弧所对的圆周角是圆心角的一半得到∠AOB=2α,由三角形外交性质和等边对等角得到∠OAB=∠OBA,由三角形内角和定理得到∠BOA=45°,∠BOD=90°,可得BD值,由三角形相似对应边成比例得y值,进而得到OC长.

试题解析:解:(1)在⊙O与⊙A中,∵OA=OBAB=AC∴∠ACB ABC=OAB

∴△ABC∽△OAB

OC=OB–BCy关于x的函数解析式

定义域为

2①当OD//A B时,∴

(负值舍去).

AB=,这时ABOD,符合题意.

OC=

②当BD//OA时,设∠ODA= BD//OAOA=OD∴∠BDA=OAD=ODA=

又∵OB=OD∴∠BOAOBD=ODB.

AB=ACOAOB∴∠OABABC=ACB=COA+CAO

∵∠AOB+OABOBA=180°

BOA45°

∴∠ODB=OBD=45°BOD=90°BD=. BD//OA

由于BDOA 符合题意.

∴当四边形ABDO是梯形时,线段OC的长为

或:过点BBHOA,垂足为H BH=OH=AH=2–

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