题目内容
【题目】如图，△ABD是等腰三角形，AB=AD，将△ABD沿BD翻折得△CBD，点P是线段BD上一点，
（1）如图1，连接PA、PC，求证：CP=AP；
（2）如图2，连接PA，若∠BAP=90°时，作∠DPF=45°，线段PF交线段CD于F，求证：AD=AP+DF；
（3）如图3，∠ABD=30°，连接AP并延长交CD于M，若∠BAM=90°，在BD上取一点Q，且DQ=3BQ，连BM、CQ，当BM= 
时，求CQ的长．
【答案】
（1）
证明：由翻折有，AD=CD，∠ADP=∠CDP，
在△ADP和△CDP中，
∴△ADP≌△CDP，
∴CP=AP
（2）
证明：连接PC，由（1）有，AP=CP，
由翻折有∠BCP=∠BAP=90°，
∴∠CBP+∠BPC=90°，
∵AD=AB=CB=CD，
∴∠CBP=∠CDP，
∴∠CDP+∠BPC=90°，
∵∠DPF=45°，
∴∠BPC+∠CPF=135°，
∴∠CPF=∠CDP+45°，
∵∠CFP=∠CDP+∠BPF=∠CDP+45°，
∴∠CPF=∠CFP，
∴CP=CF，
∴AD=CB=CF+FD=CP+FD=AP+FD
（3）
证明：如图，连接AQ，AC，
由（1）有，AQ=CQ，AP=CP，由翻折有AB=BC，AD=CD，
∵AB=AD，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，∠BAD=120°，
∵DQ=3BQ，
∴BQ=OQ，
∴四边形CPAQ也是菱形，
∵∠BAM=90°，∠BAD=120°，
∴∠BAQ=∠DAM=30°，
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB=30°，
∵∠ADM=60°，
∴∠AMD=90°，
∵△ACD等边三角形，
∴CD=2DM．
设DM=x，
∴CD=AD=AB=2DM=2x，AM= 
x，
在Rt△ABM中，BM= 
，
∴AB2+AM2=BM2，
∴（2x）2+（ x）2=（ ）2，
∴x= 
或x=﹣ （舍），
在RT△AOB中，∠ABD=30°，
∴OA= 
AB=x，OB= x，
∵OQ=BQ= OB= 
x，
在RT△AOQ中，AQ= 
= 
x= 
，
∴CQ=AQ= ．
【解析】（1）由翻折得到条件，直接判断出△ADP≌△CDP，即可；（2）由（1）结论CP=AP，用三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和及平角的定义判断出∠CPF=∠CFP，得到CP=CF，即可；（3）由（1）的结论判断出四边形ABCD是菱形，继而判断出四边形AQCP也是菱形，利用勾股定理求出MN即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角），以及对等腰三角形的判定的理解，了解如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．
