题目内容
【题目】如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AGAB=12，求AC的长；
（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
；（3）⊙O半径为3，sin∠ACE=
．
【解析】
试题分析：（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2=AGAB，求出AC即可；（3）先求出AF的长，根据勾股定理得：AG=
，即可得出sin∠ADB=，利用∠ACE=∠ACB=∠ADB，求出即可．
试题解析：（1）连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠CAD+∠ADC=90°，又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，∴∠PAC=∠ADC，∴∠CAD+∠PAC=90°，∴PA⊥OA，而AD是⊙O的直径，∴PA是⊙O的切线；
（2）由（1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA，∴∠GCA=∠PAC，又∵∠PAC=∠PBA，∴∠GCA=∠PBA，而∠CAG=∠BAC，∴△CAG∽△BAC，∴
，即
=AGAB，∵AGAB=12，∴=12，∴AC=；
（3）设AF=x，∵AF：FD=1：2，∴FD=2x，∴AD=AF+FD=3x，在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴=AFAD，即
=12，解得；x=2，∴AF=2，AD=6，∴⊙O半径为3．
在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，根据勾股定理得：AG==
=
，由（2）知，AGAB=12，∴AB=
=
，连接BD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=
，AD=6，∴sin∠ADB=，∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，∴sin∠ACE=．
