题目内容

【题目】如图,点A08),点B40),连接AB,点MN分别是OAAB的中点,在射线MN上有一动点P.若△ABP是直角三角形,则点P的坐标是__

【答案】2+24)或(124).

【解析】

如图,∠APB=90°ABP=90°BAP=90°均可以使△ABP是直角三角形,故本题应该对这三种情况分别进行讨论.

(1) APB=90°如图①.

过点PPGOB垂足为G.

∵点A的坐标为(0, 8),点B的坐标为(4, 0)

OA=8OB=4.

∴在RtAOB .

∵点MN分别是OAAB的中点,

MNOB .

MNOBPGOB

PG=OM=4.

PN=xMP=MN+PN=2+x

OG=MP=2+x

BG=OG-OB=2+x-4=x-2.

∵在RtAMPAP2=AM2+PM2=42+(2+x)2=16+(2+x)2

RtBGPBP2=BG2+PG2=(x-2)2+42=(x-2)2+16

又∵在RtAPBAB2=AP2+BP2

16+(2+x)2+(x-2)2+16==80.

x=PN=.

OG=2+x=PG =4.

∴点P的坐标为(, 4).

(2) ABP=90°如图②.

过点PPGOB垂足为G.

PN=xMP=OG=2+xBG=x-2.

AM=4PG=4

又∵在RtAMPAP2=16+(2+x)2

RtBGPBP2=(x-2)2+16

∴在RtAPBAB2=AP2-BP2=16+(2+x)2-[(x-2)2+16]= =80.

x=10PN=10.

OG=2+x=2+10=12PG=4.

∴点P的坐标为(12, 4).

(3) BAP=90°如图③.

由图③可以看出,在此种情况下点P不在射线MN上,不符合题意.

综上所述,点P的坐标为(, 4)(12, 4).

故本题应填写:(, 4)(12, 4).

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