Question

如图，直线x=-4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A，交直线x=-4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB于D，且AD：BD=1：3．

（1）求点A的坐标；
（2）若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．

Answer 1

（1）点A的坐标为（－2，0）。
（2）此抛物线的函数关系式为或。

解析分析：（1）过点D作DF⊥x轴于点F，由抛物线的对称性可知OF=AF，则2AF+AE=4①，由DF∥BE，得到△ADF∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出 ，即AE=2AF②，①与②联立组成二元一次方程组，解出AE=2，AF=1，进而得到点A的坐标。
（2）先由抛物线过原点（0，0），设此抛物线的交点式为，再根据抛物线过原点（0，0）和A点（－2，0），求出对称轴为直线x=-1，则由B点横坐标为-4得出C点横坐标为2，BC=6．再由OB＞OC，可知当△OBC是等腰三角形时，可分两种情况讨论：①当OB=BC时，设B（－4，y₁），列出方程，解方程求出y₁的值，将B点坐标代入，运用待定系数法求出此抛物线的解析式；②当OC=BC时，设C（2，y₂），列出方程，解方程求出y₂的值，将C点坐标代入，运用待定系数法求出此抛物线的解析式。
解：（1）如图，过点D作DF⊥x轴于点F，

由题意，可知OF=AF，则2AF+AE=4①。
∵DF∥BE，∴△ADF∽△ABE。
∴，即AE=2AF②。
①与②联立，解得AE=2，AF=1。
∴点A的坐标为（－2，0）。
（2）∵抛物线过原点（0，0）和点A（－2，0），
∴可设此抛物线的解析式为，且对称轴为直线x=－1。
∵B、C两点关于直线x=－1对称，B点横坐标为－4，∴C点横坐标为2。
∴BC=2－（－4）=6。
∵抛物线开口向上，∴∠OAB＞90°，OB＞AB=OC。
∴当△OBC是等腰三角形时，分两种情况讨论：
①当OB=BC时，设B（－4，y₁），则，解得（负值舍去）。
∴B（－4，）。
将B（－4，）代入，得，解得。
∴此抛物线的解析式为，即。
②当OC=BC时，设C（2，y₂），则，解得（负值舍去）。
∴C（2，）。
将A C（2，）代入，得得，解得。
∴此抛物线的解析式为，即。
综上所述，若△OBC是等腰三角形，此抛物线的函数关系式为或。