题目内容

如图,是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,
给出下列命题:
①abc<0;②b>2a;③a+b+c=0
④ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1;
⑤8a+c>0.其中正确的命题是______.
①根据抛物线是开口方向向上可以判定a>0;
∵对称轴x=-
b
2a
=-1,
∴b=2a>0;
∵该抛物线与y轴交于负半轴,
∴c<0,
∴abc<0;
故本选项正确;

②由①知,b=2a;
故本选项错误;

③∵该抛物线与x轴交于点(1,0),
∴x=1满足该抛物线方程,
∴a+b+c=0;
故本选项正确;

④设该抛物线与x轴交于点(x,0)),
则由对称轴x=-1,得
x+1
2
=-1,
解得,x=-3;
∴ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1;
故本选项正确;

⑤根据图示知,当x=-4时,y>0,
∴16a-4b+c>0,
由①知,b=2a,
∴8a+c>0;
故本选项正确;
综合①②③④⑤,上述正确的①③④⑤;
故答案是:①③④⑤.
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