Question

【题目】如图，已知抛物线y= (x+2)（x-4）与x轴交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．CD∥x轴，交抛物线于点D，M为抛物线的顶点．

(l)求点A、B、C的坐标；

(2)设动点N( -2，n)，求使MN+BN的值最小时n的值：

(3)P是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似（△PAB与△ABD不重合）? 若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（-2，0） B(4,0) C（0，-）

（2）n=

（3）存在，P1（0， ），P2(6, )，P3（-4， ）

【解析】试题分析：（1）令y=0可求得点A、点B的横坐标，令x=0可求得点C的纵坐标；（2）根据两点之间线段最短作M点关于直线x=-2的对称点M′，当N（-2，N）在直线M′B上时，MN+BN的值最小；（3）需要分类讨论：△PAB∽△ABD、△PAB∽△ABD，根据相似三角形的性质求得PB的长度，然后可求得点P的坐标．

试题解析：(1)令y=0得x1=2,x2=4，

∴点A(2,0)、B(4,0)

令x=0得y=，

∴点C(0, )

(2)将x=1代入抛物线的解析式得y=

∴点M的坐标为(1, )

∴点M关于直线x=2的对称点M′的坐标为(5, )

设直线M′B的解析式为y=kx+b

将点M′、B的坐标代入得： ，

解得：

所以直线M′B的解析式为y=x.

将x=2代入得：y=，

所以n=.

(3)过点D作DE⊥BA，垂足为E.

由勾股定理得：

，

①当P1AB∽△ADB时，

即：

∴P1B=,

过点P1作P1M1⊥AB,垂足为M1.

∴,即：

解得：P1M1=，

∵即： ,

解得：BM1=12

∴点P1的坐标为(8, )

∵点P1不在抛物线上，所以此种情况不存在；

②当△P2AB∽△BDA时,

即： ,

∴P2B=,

过点P2作P2M2⊥AB,垂足为M2.

∴,即： ,

∴P2M2=

∵,即：

∴M2B=8

∴点P2的坐标为(4, )

将x=4代入抛物线的解析式得：y=，

∴点P2在抛物线上。

由抛物线的对称性可知：点P2与点P4关于直线x=1对称，

∴P4的坐标为(6, )，

当点P3位于点C处时,两三角形全等,所以点P3的坐标为(0, )，

综上所述点P的坐标为：(4, )或(6, )或(0, )时，以P、A.B为顶点的三角形与△ABD相似。