Question

如图，抛物线y=

1

2

x²+bx+c与y轴交于点C，与x轴相交于A，B两点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点Q是线段OB上的动点，过点Q作QE∥BC，交AC于点E，连接CQ，设OQ=m，当△CQE的面积最大时，求m的值，并写出点Q的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线，与该抛物线交于点P，与直线BC交于点F，D的坐标为（-2，0），则是否存在这样的直线l，使OD=DF？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案；
（2）首先求出△AEQ∽△ACB进而得出EG=

2m+4

3

，再利用S_△CQE=S_△ACQ-S_△AEQ得出关于m的二次函数关系进而得出答案；
（3）得出F（-2，-2）进而代入y=

1

2

x²+x-4求出P点坐标即可．

解答：解：（1）把x=2，y=0；x=0，y=-4代入y=

1

2

x²+bx+c，
得

0= 1 2 ×4+2b+c -4=c.

解得

b=1 c=-4.

故所求抛物线的解析式为y=

1

2

x²+x-4．           

（2）如图1，作EG⊥AQ于点G，由（1）可知，点B的坐标为（-4，0）．
∴CO=4，AB=6，AQ=m+2．
∵QE∥BC，
∴△AEQ∽△ACB．
∴

EG

CO

=

AQ

AB

，即

EG

4

=

m+2

6

．
∴EG=

2m+4

3

．
∴S_△CQE=S_△ACQ-S_△AEQ=

1

2

AQ•CO-

1

2

AQ•EG=

1

2

(m+2)(4-

2m+4

3

)，
=-

1

3

m2+

2

3

m+

8

3

=-

1

3

(m-1)2+3．
当m=1时，当△CQE的面积最大．
此时，点Q的坐标为（-1，0）．                  

（3）若存在，如图2，
∵点B的坐标为（-4，0），D的坐标为（-2，0），DO=DF，
∴DB=DF．∴∠ABC=∠BFD．
∵OC=OB，∠ABC=∠BCO=45°．
∴∠ABC=∠BFD=45°．
∴FD⊥AB．
则F（-2，-2）．
∴

1

2

x²+x-4=-2．
解得x₁=-1-

5

，x₂=-1+

5

．
所以点P的坐标为（-1-

5

，-2）或（-1+

5

，-2）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质等知识，根据相似三角形的判定与性质得出△AEQ∽△ACB是解题关键．