Question

如图，⊙O的两条割线AB、AC分别交圆O于D、B、E、C，弦DF∥AC交BC于G．
（1）求证：AC•FG=BC•CG；
（2）若CF=AE．求证：△ABC为等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）可以从探求题目的结论出发，把问题转化为证明△ABC∽△CFG，再根据图形及已知条件，找相似的条件，即两组角相等．
（2）由圆的两条平行弦CE，DF所夹的弧相等，则弦DE=CF，可证明△ADE是等腰三角形，再运用圆内接四边形的外角性质，证明△ABC是等腰三角形．

解答：证明：（1）连接CF，
∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠A，∠FGC=∠GCA．
∵∠BCF=∠BDF，
∴∠BCF=∠A．
∴△ABC∽△CFG（AA）．
∴

AC

CG

=

BC

FG

．
∴AC•FG=BC•CG．

（2）连接DE，
∵DF∥AC，
∴DF∥EC，
∴

DE

=

CF

∴DE=CF．
∵CF=AE，
∴DE=AE．
∴∠A=∠ADE．
又∵∠ADE是圆内接四边形的外角，
∴∠ADE=∠ACB．
∴∠A=∠ACB．
∴△ABC是等腰三角形．

点评：本题综合考查圆周角定理，相似三角形的判定，等腰三角形的判定等知识点的运用能力．