题目内容

【题目】问题背景:已知在△ABC中,边AB上的动点DAB运动(与AB不重合),同时点E由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合),连接DEAC于点F,点H是线段AF上一点,求的值.

(1)初步尝试

如图(1),若ABC是等边三角形,DHAC且点DE的运动速度相等,小王同学发现可以过点DDGBCAC于点G先证GHAH,再证GFCF

从而求得的值为

(2)类比探究

如图(2),若ABC中,∠ABC=90°,ADHBAC=30°,且点DE的运动速度之比是︰1,求的值.

(3)延伸拓展

如图(3)若在ABC中,ABACADHBAC=36°,记m且点DE的运动速度相等,试用含m的代数式表示的值(直接写出果,不必写解答过程).

【答案】(1)2;(2);(3)

【解析】(1)过点D作DG∥BC交AC于点G,由题意知△AGD是等边三角形,所以AD=GD,所以可以证明△GDF≌△CEF,所以CF=GF,由三线合一可知:AH=GH,所以=2;

(2)过点D作DG∥BC交AC于点G,由点D、E的运动速度之比是:1可知GD=CE,所以可以证明△GDF≌△CEF,所以CF=GF,所以CF=GF,由∠ABC=90°,∠ADH=∠BAC=30°可知:AH=DH,所以=2;

(3)类似(1)(2)的方法可求出=m和=m,然后利用GH+FG=m(AC-HF),

即可求出的值.

解:(1)过点D作DG∥BC交AC于点G,

∵△ABC是等边三角形,

∴△AGD是等边三角形,

∴AD=GDA,

由题意知:CE=AD,

∴CE=GD,

∵DG∥BC,

∴∠GDF=∠CEF,

在△GDF与△CEF中,

∠GDF=∠CEF,∠GFD=∠EFC,CE=GD,

∴△GDF≌△CEF(AAS),

∴CF=GF,

∵DH⊥AG,

∴AH=GH,

∴AC=AG+CG=2GH+2CF=2(GH+CF),HF=GH+GF,

=2;

(2)

如图(1)过点DDGBCAC于点G

则∠ADG=∠ABC=90°.

∵∠BAC=∠ADH=30°,

AHDH,∠GHD=∠BAC+∠ADH=60°,

HDG=∠ADG-∠ADH=60°,

∴△DGH为等边三角形.

GDGH DH AHADGD·tan60°=GD

由题意可知,ADCE.∴GDCE

DGBC,∴∠GDF=∠CEF,∠DGF=∠ECF

∴△GDF≌△CEF.∴GFCF

GHGFAHCF,即HFAHCF

HFAC=2,即

(3)

提示:如图(2)

过点DDGBCAC于点G

易得ADAGADEC,∠AGD=∠ACB

在△ABC中,∵∠BAC=∠ADH=36°,ABAC

AHDH,∠ACB=∠B=72°,∠GHD=∠HAD+∠ADH=72°.

∴∠AGD=∠GHD=72°.

∵∠GHD=∠B=∠HGD=∠ACB,∴△ABC∽△DGH.∴

GHmD HmA H

由△ADG∽△ABC可得

DGBC,∴.∴FGmFC

GHFGmAHFC)=mACHF),

HFmACHF).∴

“点睛”本题考查三角形的综合问题,涉及全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质,直角三角形的性质等知识,内容比较综合,需要学生灵活运用所学的知识进行解答.

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