题目内容
问题解决:如图(1),将正方形纸片ABCD折叠,使点B落在CD边上一点E(不与点C,D重合),压平后得到折痕MN.当
CE |
CD |
1 |
2 |
AM |
BN |
类比归纳:
在图(1)中,若
CE |
CD |
1 |
3 |
AM |
BN |
CE |
CD |
1 |
4 |
AM |
BN |
CE |
CD |
1 |
n |
AM |
BN |
联系拓广:
如图(2),将矩形纸片ABCD折叠,使点B落在CD边上一点E(不与点C,D重合),压平后得到折痕MN,设
AB |
BC |
1 |
m |
CE |
CD |
1 |
n |
AM |
BN |
分析:如图(1-1),连接BM,EM,BE.由题设,得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称.由轴对称的性质知MN垂直平分BE.有BM=EM,BN=EN.由于四边形ABCD是正方形,则有∠A=∠D=∠C=90°,设AB=BC=CD=DA=2.由
=
得,CE=DE=1;设BN=x,则NE=x,NC=2-x.在Rt△CNE中,由勾股定理知NE2=CN2+CE2.即x2=(2-x)2+12可解得x的值,从而得以BN的值,在Rt△ABM和在Rt△DEM中,由勾股定理知AM2+AB2=BM2,DM2+DE2=EM2,有AM2+AB2=DM2+DE2.
设AM=y,则DM=2-y,y2+22=(2-y)2+12可求得y的值,得到AM的值从而得到
=
.
CE |
CD |
1 |
2 |
设AM=y,则DM=2-y,y2+22=(2-y)2+12可求得y的值,得到AM的值从而得到
AM |
BN |
1 |
5 |
解答:解:(1)方法一:如图(1-1),连接BM,EM,BE.
由题设,得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称.
∴MN垂直平分BE,
∴BM=EM,BN=EN.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠D=∠C=90°,设AB=BC=CD=DA=2.
∵
=
,
∴CE=DE=1.
设BN=x,则NE=x,NC=2-x.
在Rt△CNE中,NE2=CN2+CE2.
∴x2=(2-x)2+12,
解得x=
,即BN=
.
在Rt△ABM和在Rt△DEM中,AM2+AB2=BM2,DM2+DE2=EM2,
∴AM2+AB2=DM2+DE2.
设AM=y,则DM=2-y,
∴y2+22=(2-y)2+12,
解得y=
,即AM=
(6分)
∴
=
.
方法二:同方法一,BN=
.
如图(1-2),过点N做NG∥CD,交AD于点G,连接BE.
∵AD∥BC,
∴四边形GDCN是平行四边形.
∴NG=CD=BC.
同理,四边形ABNG也是平行四边形.
∴AG=BN=
∵MN⊥BE,∴∠EBC+∠BNM=90度.
∵NG⊥BC,∴∠MNG+∠BNM=90°,
∴∠EBC=∠MNG.
在△BCE与△NGM中
,
∴△BCE≌△NGM,EC=MG.
∵AM=AG-MG,AM=
-1=
.
∴
=
.
(2)如图1,当四边形ABCD为正方形时,连接BE,
=
,
不妨令CD=CB=n,则CE=1,设BN=x,则EN=x,EN2=NC2+CE2,x2=(n-x)2+12,x=
;
作MH⊥BC于H,则MH=BC,
又点B,E关于MN对称,则MN⊥BE,∠EBC+∠BNM=90°;而∠NMH+∠BNM=90°,故∠EBC=∠NMH,则△EBC≌△NMH,
∴NH=EC=1,AM=BH=BN-NH=
-1=
则:
=
=
.
故当
=
,则
的值等于
;若
=
,则
的值等于
;
(3)若四边形ABCD为矩形,连接BE,
=
,不妨令CD=n,则CE=1;
又
=
=
,则BC=mn,同样的方法可求得:
BN=
,
BE⊥MN,易证得:△MHN∽△BCE.故
=
,
=
,
HN=
,故AM=BH=BN-HN=
,
故
=
=
.
故答案为:
;
;
;
.
由题设,得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称.
∴MN垂直平分BE,
∴BM=EM,BN=EN.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠D=∠C=90°,设AB=BC=CD=DA=2.
∵
CE |
CD |
1 |
2 |
∴CE=DE=1.
设BN=x,则NE=x,NC=2-x.
在Rt△CNE中,NE2=CN2+CE2.
∴x2=(2-x)2+12,
解得x=
5 |
4 |
5 |
4 |
在Rt△ABM和在Rt△DEM中,AM2+AB2=BM2,DM2+DE2=EM2,
∴AM2+AB2=DM2+DE2.
设AM=y,则DM=2-y,
∴y2+22=(2-y)2+12,
解得y=
1 |
4 |
1 |
4 |
∴
AM |
BN |
1 |
5 |
方法二:同方法一,BN=
5 |
4 |
如图(1-2),过点N做NG∥CD,交AD于点G,连接BE.
∵AD∥BC,
∴四边形GDCN是平行四边形.
∴NG=CD=BC.
同理,四边形ABNG也是平行四边形.
∴AG=BN=
5 |
4 |
∵MN⊥BE,∴∠EBC+∠BNM=90度.
∵NG⊥BC,∴∠MNG+∠BNM=90°,
∴∠EBC=∠MNG.
在△BCE与△NGM中
|
∴△BCE≌△NGM,EC=MG.
∵AM=AG-MG,AM=
5 |
4 |
1 |
4 |
∴
AM |
BN |
1 |
5 |
(2)如图1,当四边形ABCD为正方形时,连接BE,
CE |
CD |
1 |
n |
不妨令CD=CB=n,则CE=1,设BN=x,则EN=x,EN2=NC2+CE2,x2=(n-x)2+12,x=
n2+1 |
2n |
作MH⊥BC于H,则MH=BC,
又点B,E关于MN对称,则MN⊥BE,∠EBC+∠BNM=90°;而∠NMH+∠BNM=90°,故∠EBC=∠NMH,则△EBC≌△NMH,
∴NH=EC=1,AM=BH=BN-NH=
n2+1 |
2n |
n2-2n+1 |
2n |
则:
AM |
BN |
| ||
|
n2-2n+1 |
n2+1 |
故当
CE |
CD |
1 |
3 |
AM |
BN |
2 |
5 |
CE |
CD |
1 |
4 |
AM |
BN |
9 |
17 |
(3)若四边形ABCD为矩形,连接BE,
CE |
CD |
1 |
n |
又
AB |
BC |
1 |
m |
n |
mn |
BN=
m2n2+1 |
2mn |
BE⊥MN,易证得:△MHN∽△BCE.故
MH |
BC |
HN |
CE |
n |
mn |
HN |
1 |
HN=
1 |
m |
m2n2-2n+1 |
2mn |
故
AM |
BN |
| ||
|
m2n2-2n+1 |
m2n2+1 |
故答案为:
1 |
5 |
9 |
17 |
(n-1)2 |
n2+1 |
n2m2-2n+1 |
n2m2+1 |
点评:本题利用了:1、折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等;2、正方形和矩形的性质,勾股定理求解.
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