题目内容
【题目】如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折,得到一个新函数的图象(图中的“V形折线”).
(1)类比研究函数图象的方法,请列举新函数的两条性质,并求新函数的解析式;
(2)如图2,双曲线y=与新函数的图象交于点C(1,a),点D是线段AC上一动点(不包括端点),过点D作x轴的平行线,与新函数图象交于另一点E,与双曲线交于点P.
①试求△PAD的面积的最大值;
②探索:在点D运动的过程中,四边形PAEC能否为平行四边形?若能,求出此时点D的坐标;若不能,请说明理由.
【答案】(1)①函数的最小值为0;②函数图象的对称轴为直线x=-3;新函数的解析式为y= ;(2)△PAD的面积的最大值为;②在点D运动的过程中,四边形PAEC不能为平行四边形.理由见解析.
【解析】(1)根据一次函数的性质,结合函数图象可写出新函数的两条性质;求新函数的解析式,可分两种情况进行讨论:①x≥-3时,显然y=x+3;②当x<-3时,利用待定系数法求解;
(2)①先把点C(1,a)代入y=x+3,求出C(1,4),再利用待定系数法求出反比例函数解析式为y=.由点D是线段AC上一动点(不包括端点),可设点D的坐标为(m,m+3),且-3<m<1,那么P(,m+3),PD=-m,再根据三角形的面积公式得出△PAD的面积为S=(-m)×(m+3)=-m2-m+2=-(m+)2+,然后利用二次函数的性质即可求解;
②先利用中点坐标公式求出AC的中点D的坐标,再计算DP,DE的长度,如果DP=DE,那么根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形PAEC为平行四边形;如果DP≠DE,那么不是平行四边形.
试题解析:(1)如图1,均是正整数新函数的两条性质:①函数的最小值为0;
②函数图象的对称轴为直线x=-3;
由题意得A点坐标为(-3,0).分两种情况:
①x≥-3时,显然y=x+3;
②当x<-3时,设其解析式为y=kx+b.
在直线y=x+3中,当x=-4时,y=-1,
则点(-4,-1)关于x轴的对称点为(-4,1).
把(-4,1),(-3,0)代入y=kx+b,
得
解得
∴y=-x-3.
综上所述,新函数的解析式为y= ;
(2)如图2,
①∵点C(1,a)在直线y=x+3上,
∴a=1+3=4.
∵点C(1,4)在双曲线y=上,
∴k=1×4=4,y=.
∵点D是线段AC上一动点(不包括端点),
∴可设点D的坐标为(m,m+3),且-3<m<1.
∵DP∥x轴,且点P在双曲线上,
∴P(,m+3),
∴PD=-m,
∴△PAD的面积为
S=(-m)×(m+3)=-m2-m+2=-(m+)2+,
∵a=-<0,
∴当m=-时,S有最大值,为,
又∵-3<-<1,
∴△PAD的面积的最大值为;
②在点D运动的过程中,四边形PAEC不能为平行四边形.理由如下:
当点D为AC的中点时,其坐标为(-1,2),此时P点的坐标为(2,2),E点的坐标为(-5,2),
∵DP=3,DE=4,
∴EP与AC不能互相平分,
∴四边形PAEC不能为平行四边形.