Question

已知二次函数y=x²-（2m+1）x+m²-1．
（1）如果该函数的图象经过原点，请求出m的值及此时图象与x轴的另一交点的坐标；
（2）如果该函数的图象的顶点在第四象限，请求出m的取值范围；
（3）若把（1）中求得的函数的图象沿其对称轴上下平行移动，使顶点移到直线y=

1

2

x上，请求出此时函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）当函数图象过原点时，m²-1=0，即可求出m的值，进而可求出抛物线的解析式，然后根据抛物线的解析式即可得出二次函数与x轴的另一交点的坐标．
（2）先用配方法求出二次函数的顶点坐标，然后让纵坐标大于0，纵坐标小于0即可求出m的取值范围．
（3）可将（2）中得出的抛物线顶点坐标代入直线的解析式中即可求出抛物线的解析式．

解答：解：（1）由题意可知m²-1=0
解得m=1，m=-1，
当m=1时，y=x²-3x，二次函数与x轴另一交点的坐标为（3，0）；
当m=-1时，y=x²+x，二次函数与x轴另一交点的坐标为（-1，0）．
（2）已知抛物线的解析式为y=x²-（2m+1）x+m²-1=（x-

2m+1

2

）²-

5+4m

4

因此抛物线的顶点坐标为（

2m+1

2

，-

5+4m

4

）
由于抛物线顶点在第四象限因此可得

2m+1 2 ＞0 - 5+4m 4 ＜0

解得m＞-

1

2

．
（3）由题意可知

1

2

×

2m+1

2

=-

5+4m

4

解得m=-1．
因此抛物线的解析式为y=x²+x．

点评：本题考查了二次函数的性质等知识点，将二次函数的解析式化为顶点式进行求解是解题的基本思路．