题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=x2﹣2x+m(m>0)的对称轴与比例系数为5的反比例函数图象交于点A,与x轴交于点B,抛物线的图象与y轴交于点C,且OC=3OB.

(1)求点A的坐标;
(2)求直线AC的表达式;
(3)点E是直线AC上一动点,点F在x轴上方的平面内,且使以A、B、E、F为顶点的四边形是菱形,直接写出点F的坐标.

【答案】
(1)

解:由题意可知二次函数图象的对称轴是直线x=1,反比例函数解析式是y=

把x=1代入y= ,得y=5,

∴点A的坐标为(1,5);


(2)

解:由题意可得点B的坐标为(1,0),

∵OC=3OB,

∴OC=3,

∵m>0,

∴m=3,

可设直线AC的表达式是y=kx+3,

∵点A在直线AC上,

∴k=2,

∴直线AC的表达式是y=2x+3;


(3)

解:当AB、BE为菱形的边时,如图1,

设E(x,2x+3),则BE=

∵四边形ABEF为菱形,

∴AB=BE=5,

=5,解得x=1(E、A重合,舍去)或x=﹣3,

此时E(﹣3,﹣3),

∵EF∥AB且EF=AB,

∴F(﹣3,2),

当AB、AE为边时,则AE=AB=5,

同理可求得AE=

=5,解得x=1﹣ (此时F点在第三象限,舍去)或x=1+

∴E(1+ ,5+2 ),

∵EF∥AB且EF=AB,

∴F(1+ ,2 );

当AB为对角线时,如图2,

则EF过AB的中点,

∵A(1,5),B(1,0),

∴AB的中点为(1, ),

∵EF⊥AB,

∴EF∥x轴,

∴E点纵坐标为 ,代入y=2x+3可得 =2x+3,解得x=﹣

∴E(﹣ ),

∴F( );

综上可知F点的坐标为(﹣3,2)或(1+ ,2 )或(


【解析】(1)可求得抛物线对称轴方程和反比例函数解析式,则可求得A点坐标;(2)可求得B点坐标,再由OC=3OB可求得C点坐标,利用待定系数法可求得直线AC的表达式;(3)当AB为菱形的边时,则BE=AB或AE=AB,设出E点坐标,可表示出BE的长,可得到关于E点坐标的方程,可求得E点坐标,由AB∥EF,则可求得F点的坐标;当AB为对角线时,则EF被AB垂直平分,则可求得E的纵坐标,从而可求得E点坐标,利用对称性可求得F点的坐标.

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