题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=x2﹣2x+m(m>0)的对称轴与比例系数为5的反比例函数图象交于点A,与x轴交于点B,抛物线的图象与y轴交于点C,且OC=3OB.
(1)求点A的坐标;
(2)求直线AC的表达式;
(3)点E是直线AC上一动点,点F在x轴上方的平面内,且使以A、B、E、F为顶点的四边形是菱形,直接写出点F的坐标.
【答案】
(1)
解:由题意可知二次函数图象的对称轴是直线x=1,反比例函数解析式是y= ,
把x=1代入y= ,得y=5,
∴点A的坐标为(1,5);
(2)
解:由题意可得点B的坐标为(1,0),
∵OC=3OB,
∴OC=3,
∵m>0,
∴m=3,
可设直线AC的表达式是y=kx+3,
∵点A在直线AC上,
∴k=2,
∴直线AC的表达式是y=2x+3;
(3)
解:当AB、BE为菱形的边时,如图1,
设E(x,2x+3),则BE= ,
∵四边形ABEF为菱形,
∴AB=BE=5,
∴ =5,解得x=1(E、A重合,舍去)或x=﹣3,
此时E(﹣3,﹣3),
∵EF∥AB且EF=AB,
∴F(﹣3,2),
当AB、AE为边时,则AE=AB=5,
同理可求得AE= ,
∴ =5,解得x=1﹣
(此时F点在第三象限,舍去)或x=1+
,
∴E(1+ ,5+2
),
∵EF∥AB且EF=AB,
∴F(1+ ,2
);
当AB为对角线时,如图2,
则EF过AB的中点,
∵A(1,5),B(1,0),
∴AB的中点为(1, ),
∵EF⊥AB,
∴EF∥x轴,
∴E点纵坐标为 ,代入y=2x+3可得
=2x+3,解得x=﹣
,
∴E(﹣ ,
),
∴F( ,
);
综上可知F点的坐标为(﹣3,2)或(1+ ,2
)或(
,
)
【解析】(1)可求得抛物线对称轴方程和反比例函数解析式,则可求得A点坐标;(2)可求得B点坐标,再由OC=3OB可求得C点坐标,利用待定系数法可求得直线AC的表达式;(3)当AB为菱形的边时,则BE=AB或AE=AB,设出E点坐标,可表示出BE的长,可得到关于E点坐标的方程,可求得E点坐标,由AB∥EF,则可求得F点的坐标;当AB为对角线时,则EF被AB垂直平分,则可求得E的纵坐标,从而可求得E点坐标,利用对称性可求得F点的坐标.

【题目】下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况,这一周的上周末的水位已达到警戒水位米(正号表示水位比前一天上升,负号表示水位比前一天下降).
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
水位 变化(米) | +0.2 | -0.4 | +0.3 |
(1)本周哪一天长江的水位最高?位于警戒水位之上还是之下?
(2)与上周周末相比,本周周末长江的水位是上升了还是下降了?并通过计算说明理由.