Question

【题目】设抛物线的解析式为y=ax2 ， 过点B1（1，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A1（1，2）；过点B2（ ，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A2；…；过点Bn（（ ）n﹣1 ， 0）（n为正整数）作x轴的垂线，交抛物线于点An ， 连接AnBn+1 ， 得Rt△AnBnBn+1 ．
（1）求a的值；
（2）直接写出线段AnBn ， BnBn+1的长（用含n的式子表示）；
（3）在系列Rt△AnBnBn+1中，探究下列问题：
①当n为何值时，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形？
②设1≤k＜m≤n（k，m均为正整数），问：是否存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点A1（1，2）在抛物线的解析式为y=ax2上，

∴a=2；

（2）

解：AnBn=2x2=2×[（ ）n﹣1]2=（ ）2n-3，

BnBn+1=（ ）n；

（3）

解：由Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形得AnBn=BnBn+1，则：（ ）2n-3=（ ）n，

2n﹣3=n，n=3，

∴当n=3时，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形，

②依题意得，∠AkBkBk+1=∠AmBmBm+1=90°，

有两种情况：i）当Rt△AkBkBk+1∽Rt△AmBmBm+1时，

= ， = ， = ，

所以，k=m（舍去），

ii）当Rt△AkBkBk+1∽Rt△Bm+1BmAm时，

= ， = ， = ，

∴k+m=6，

∵1≤k＜m≤n（k，m均为正整数），

∴取 或 ；

当 时，Rt△A1B1B2∽Rt△B6B5A5，

相似比为： = =64，

当 时，Rt△A2B2B3∽Rt△B5B4A4，

相似比为： = =8，

所以：存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似，其相似比为64：1或8：1．

【解析】本题考查了二次函数的综合问题，这是一个函数类的规律题，把坐标、二次函数和线段有机地结合在一起，以求线段的长为突破口，以相似三角形的对应边的比为等量关系，代入计算解决问题，综合性较强，因为本题小字标较多，容易出错．（1）直接把点A1的坐标代入y=ax2求出a的值；（2）由题意可知：A1B1是点A1的纵坐标：则A1B1=2×12=2；A2B2是点A2的纵坐标：则A2B2=2×（ ）2= ；…则AnBn=2x2=2×[（ ）n﹣1]2=（ ）2n-3；
B1B2=1﹣ = ，B2B3= ﹣（ ）2 = =（ ）2 ， …，BnBn+1=（ ）n；（3）因为Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1是直角三角形，所以分两种情况讨论：根据（2）的结论代入所得的对应边的比列式，计算求出k与m的关系，并与1≤k＜m≤n（k，m均为正整数）相结合，得出两种符合条件的值，分别代入两相似直角三角形计算相似比．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质和相似三角形的判定的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）才能正确解答此题．