Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c（a≠0）有一个根为﹣
其中正确的结论个数有（ ）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】C
【解析】解：
由图象开口向下，可知a＜0，
与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，
又对称轴方程为x=2，所以﹣ ＞0，所以b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
由图象可知当x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞，故②错误；
由图象可知OA＜1，
∵OA=OC，
∴OC＜1，即﹣c＜1，
∴c＞﹣1，故③正确；
假设方程的一个根为x=﹣ ，把x=﹣ 代入方程可得 ﹣ +c=0，
整理可得ac﹣b+1=0，
两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0，
即方程有一个根为x=﹣c，
由②可知﹣c=OA，而当x=OA是方程的根，
∴x=﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；
综上可知正确的结论有三个，
故选C．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．