Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴DP交x轴于Q点，已知P（1，-2），且线段AB=4，tan∠ODP=

1

4

．
（1）求D点的坐标．
（2）求抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的解析式．
（3）在抛物线上是否存在点M（D点除外），使S_△DOP=S_△MOP？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据三角函数即可求出D点的坐标．
（2）根据顶点式，由待定系数法求出抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的解析式．
（3）过D点作ED∥PO交y轴于E点，过E作EN⊥PO于N．过M点作直线与PO平行交y轴于F点，使其与PO之间的距离为

6 5

5

．根据S_△DOP=S_△MOP列出方程组求解即可．

解答：解：（1）依条件得：tan∠ODP=

1

4

，OQ=1，∴DQ=4（1分）
∴D（1，4）（3分）

（2）∵AB=4，∴BQ=2，OB=1∴B（-1，0）
依题意可设抛物线解析式为y=a（x-1）²+4（4分）
把B（-1，0）代入y=a（x-1）²+4得a=-1，（5分）
∴抛物线解析式为y=-（x-1）²+4（6分）

（3）过D点作ED∥PO交y轴于E点，过E作EN⊥PO于N．
∵S△OPD=

1

2

OQ•DP=

1

2

PO•EN，∴EN=

6 5

5

又Rt△ENO∽Rt△PHO
∴

OP

OE

=

PH

EN

，
∴OE=6
又直线y_OP=-2x（7分）
过M点作直线与PO平行交y轴于F点，使其与PO之间的距离为

6 5

5

．
此时S_△DOP=S_△MOP．∴y_ED=-2x+6，y_FQ=-2x-6．
∴

y=-2x+6 y=-(x-1)2+4

或

y=-2x-6 y=-(x-1)2+4

解得：

x1=1 y1=4

，

x2=3 y2=0

，

x3=2- 13 y3=-10+2 13

，

x4=2+ 13 y4=-10-2 13

∵M与D不重合
∴存在M点的坐标分别为：M1(3，0)，M2(2-

13

，-10+2

13

)，M3(2+

13

，-10-2

13

)．（10分）

点评：本题考查二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有三角函数、抛物线的顶点公式和三角形的面积求法、待定系数法求函数的解析式，有一定的难度．