Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过O作OE∥AB，交BC于E．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）如果⊙O的半径为，ED=2，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，延长EO交⊙O于F，连接DF、AF，求△ADF的面积．

Answer 1

解：（1）连接OD；
∵OE∥AB，
∴∠EOC=∠A，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠A，
∵∠EOC+∠DOE=∠DOC=∠ODA+∠A=2∠A，
∴∠DOE=∠A，
∴∠EOC=∠DOE，
在△OCE和△ODE中，

∴△OCE≌△ODE（SAS），
∴∠C=∠ODE=90°，
∴ED是⊙O的切线；

（2）∵OE∥AB，CO=OA，
∴CE=EB；
∴OE是△ABC的中位线；
∴AB=2OE；
在Rt△ODE中，
∵∠ODE=90°，OD=，DE=2，
∴OE=；
∴AB=5．

（3）设EF与CD交于点G，DG是Rt△ODE斜边OE上的高；
∴DG==；
∴CD=2DG=；
Rt△ACD中，∠ADO=90°，AC=3，CD=，
∴AD=；
∴S_△ADF=S_△ADG=AD×DG=．
分析：（1）连接OD，证明△ODE≌△OCE，∠ODE=∠C=90°，由切线的判定得出．
（2）由条件得出AB=2OE，而OE是Rt△ODE的斜边，根据勾股定理求出．
（3）设EF与CD交于点G，S_△ADF=S_△ADG．
点评：此题考查了切线的判定、全等三角形的性质与判定、三角形中位线的性质及勾股定理的等知识．解题时要注意：连接过切点的半径是有关切线知识的一种常用辅助线的作法．