Question

已知：如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，直线EF经过点C，分别交AB、AD的延长线于E、F两点，连接ED、FB相交于点H．
（1）找出图中与△BEC相似的三角形，并选一对给予证明；
（2）如果菱形的边长是3，DF=2，求BE的长；
（3）请说明BD²=DH•DE的理由．

Answer 1

分析：（1）根据相似三角形的判定定理，即可找到△BEC∽△DCF；△BEC∽△AEF；
（2）根据相似三角形的判定证明△BCE∽△AFE，再根据相似三角形的对应边的比相等求解；
（3）利用菱形的性质、等边三角形的性质以及相似三角形的判定以及性质可以证明△BHD∽△EBD，再根据相似三角形的性质即可证明．

解答：解：（1）△BEC∽△DCF；△BEC∽△AEF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AF，
∴△BEC∽△AEF；

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∴△BCE∽△AFE，
∴

BE

AE

=

BC

AF

，
即

BE

3+BE

=

3

5

，
即BE=4.5；

（3）∵△BEC∽△DCF，
∴

BE

CD

=

BC

DF

，
在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴AB=AD=BD=BC=CD，∠EBD=∠BDF=120°，
∵

BE

CD

=

BC

DF

，
∴

BE

BD

=

BD

DF

，
∴△BED∽△DBF，
∴∠BED=∠DBF，
又∵∠BDE为公共角，
∴△BHD∽△EBD，
∴

DH

BD

=

BD

DE

，
即BD²=DH•DE．

点评：本题综合考查了相似三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质以及菱形的性质，在第三题证明过程中，注意等量代换的应用．