题目内容
【题目】如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,P在BA边上从B向A运动,过作PE⊥PC,交AD于点E.
(1)如图1,当EP=PC时,求线段AE的长度;
(2)如图2,当P为AB中点时,求证:CP平分∠ECB;
(3)若⊙O直径为CE,则在点P的运动过程中,是否存在⊙O与AB相切,若存在,求出⊙O的半径:若不存在,请说明理由.
【答案】(1)1;(2)见解析;(3)存在,⊙O的半径为 .
【解析】
(1)如图1,先证明∠PEA=∠CPB,则根据“AAS”可判断△APE≌△BCP,从而得到AP=BC=3,AE=PB,然后计算出PB得到AE的长;
(2)如图2,先计算出PC=,再证明△APE∽△BCP,利用相似比计算出PE=,利用三角函数的定义得到tan∠ECP==tan∠BCP,从而可判断∠ECP=∠BCP;
(3)连接OP,如图3,根据切线的判定法,当OP⊥AB时,AB与⊙O相切,再证明AP=PB=2,则可利用由(2)的结论得到CP=,EP=,然后利用勾股定理计算出CE即可得到⊙O的半径.
(1)解:如图1,
∵PE⊥PC,
∴∠EPC=90°,
∴∠APE+∠CPB=90°,
而∠APE+∠PEA=90°,
∴∠PEA=∠CPB,
在△APE和△BCP
,
∴△APE≌△BCP(AAS),
∴AP=BC=3,AE=PB,
而PB=AB﹣AP=4﹣3=1,
∴AE=1;
(2)证明:如图2,
∵P为AB中点,
∴AP=BP=2,
∴PC=,
∵∠PEA=∠BPC,∠A=∠B=90°,
∴△APE∽△BCP,
∴,即,
解得:PE=,
在Rt△PCE中,tan∠ECP=,
在Rt△PCB中,tan∠BCP=,
∴∠ECP=∠BCP,
∴CP平分∠ECB;
(3)解:存在.连接OP,如图3,
当OP⊥AB时,AB与⊙O相切,
∵OE=OC,
∴AP=PB=2,
由(2)得CP=,EP=,
在Rt△PCE中,CE=,
∴⊙O的半径为:.
【题目】某市举行知识大赛,A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛,两校派出选手的决赛成绩如图所示.
根据图示填写下表:
平均数分 | 中位数分 | 众数分 | |
A校 | ______ | 85 | ______ |
B校 | 85 | ______ | 100 |
结合两校成绩的平均数和中位数,分析哪个学校的决赛成绩较好;
计算两校决赛成绩的方差,并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定.