题目内容

【题目】如图,矩形ABCD中,AB4BC3PBA边上从BA运动,过作PEPC,交AD于点E

1)如图1,当EPPC时,求线段AE的长度;

2)如图2,当PAB中点时,求证:CP平分∠ECB

3)若⊙O直径为CE,则在点P的运动过程中,是否存在⊙OAB相切,若存在,求出⊙O的半径:若不存在,请说明理由.

【答案】11;(2)见解析;(3)存在,⊙O的半径为

【解析】

1)如图1,先证明∠PEA=CPB,则根据“AAS”可判断△APE≌△BCP,从而得到AP=BC=3AE=PB,然后计算出PB得到AE的长;
2)如图2,先计算出PC=,再证明△APE∽△BCP,利用相似比计算出PE=,利用三角函数的定义得到tanECP==tanBCP,从而可判断∠ECP=BCP
3)连接OP,如图3,根据切线的判定法,当OPAB时,AB与⊙O相切,再证明AP=PB=2,则可利用由(2)的结论得到CP=EP=,然后利用勾股定理计算出CE即可得到⊙O的半径.

(1)解:如图1

PEPC

∴∠EPC90°

∴∠APE+CPB90°

而∠APE+PEA90°

∴∠PEA=∠CPB

APEBCP

∴△APE≌△BCPAAS),

APBC3AEPB

PBABAP431

AE1

2)证明:如图2

PAB中点,

APBP2

PC

∵∠PEA=∠BPC,∠A=∠B90°

∴△APE∽△BCP

,即

解得:PE

RtPCE中,tanECP

RtPCB中,tanBCP

∴∠ECP=∠BCP

CP平分∠ECB

3)解:存在.连接OP,如图3

OPAB时,AB与⊙O相切,

OEOC

APPB2

由(2)得CPEP

RtPCE中,CE

∴⊙O的半径为:.

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