题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，点B、A分别在x轴和y轴上，连接AB，已知∠ABO=60°，BC平分∠ABO交y轴于点C，且BC=8．
（1）求点A的坐标；
（2）点P从点B出发，沿射线BC方向以每秒2个长度单位的速度运动，过点P作PQ⊥y轴于Q，设点P的运动时间为t秒，试用t表示线段CQ的长；
（3）点D是点B关于y轴的对称点，在（2）的条件下，连接OP、DQ、CD，当 
时，求t的值．
【答案】
（1）
解：∵∠ABO=60°，BC是角平分线，
∴∠ABC=∠CBO=30°，
在直角△BOC中，OC=BCsin∠CBO= 
BC=4，即C的坐标是（0，4）．
又∵直角△ABO中，∠BAO=90°﹣∠ABO=90°﹣60°=30°，
∴∠BAO=∠ABC=30°，
∴AC=BC=8，
∴OA=8+4=12，
∴A的坐标是（0，12）
（2）
解：当0≤t≤4时，如图1，P在BC上，BP=2t，则PC=8﹣2t，
在直角△PCQ中，∠CPQ=∠CBO=30°，
则CQ= PC= （8﹣2t）=4﹣t；
当t＞4时，P在BC的延长线上，如图2．
BP=2t，则CP=2t﹣8，
在直角△PCQ中，∠CPQ=30°，CQ= PC= （2t﹣8）=4﹣4
（3）
解：在直角△BOC中，OB=BCcos∠CBO=8× 
=4 
，则B的坐标是（﹣4 ，0），则D的坐标是（4 ，0）．
当0≤t≤4时，如图1，P在线段BC上，作PF⊥OB于点F．则PF= BP=t，则S△BOP= ×4 t=2 t，
CQ=4﹣t，则S△DCQ= （4﹣t）×4 =﹣2 t+8 ，
当 
时，2 t= 
（﹣2 t+8 ），解得：t= 
；
当t＞4时P在BC的延长线上，如图2．作PF⊥OB于点F．则PF= BP=t，则S△BOP= ×4 t=2 t，
CQ=4﹣t，则S△DCQ= （t﹣4）×4 =2 t﹣8 ，
当 时，2 t= （2 t﹣8 ），解得：t=9．
总之，t= 或9．
【解析】（1）首先在直角△BOC中，利用三角函数求得OC的长，然后证明BC=AC，则求得OA的长，得到A的坐标；（2）分成P在线段BC上和在BC的延长线上两种情况进行讨论，利用三角函数求解；（3）同（2）分成两种情况讨论，根据三角形面积公式利用t表示出△BPO和△DCQ的面积，然后解方程即可求解．
【考点精析】掌握锐角三角函数的定义是解答本题的根本，需要知道锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数．
