题目内容
【题目】如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,BC=6, .求BE的长.
【答案】(1)证明过程见解析;(2)2.5
【解析】试题分析:(1)连OD,OE,根据圆周角定理得到∠ADO+∠1=90°,而∠CDA=∠CBD,∠CBD=∠1,于是∠CDA+∠ADO=90°;(2)根据已知条件得到△CDA∽△CBD由相似三角形的性质得到,求得CD=4,由切线的性质得到BE=DE,BE⊥BC根据勾股定理列方程即可得到结论.
试题解析:(1)连结OD, ∵OB=OD, ∴∠OBD=∠BDO, ∵∠CDA=∠CBD, ∴∠CDA=∠ODB,
又∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90°, ∴∠ADO+∠ODB=90°, ∴∠ADO+∠CDA=90°, 即∠CDO=90°,
∴OD⊥CD, ∵OD是⊙O半径, ∴CD是⊙O的切线
(2)∵∠C=∠C,∠CDA=∠CBD ∴△CDA∽△CBD ∴∵,BC=6, ∴CD=4,
∵CE,BE是⊙O的切线 ∴BE=DE,BE⊥BC ∴BE2+BC2=EC2,即BE2+62=(4+BE)2 解得:BE=2.5
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