题目内容

【题目】如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.

(1)求证:CD是⊙O的切线;

(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,BC=6, .求BE的长.

【答案】(1)证明过程见解析;(22.5

【解析】试题分析:(1)连ODOE,根据圆周角定理得到∠ADO+∠1=90°,而∠CDA=∠CBD∠CBD=∠1,于是∠CDA+∠ADO=90°;(2)根据已知条件得到△CDA∽△CBD由相似三角形的性质得到,求得CD=4,由切线的性质得到BE=DEBE⊥BC根据勾股定理列方程即可得到结论.

试题解析:(1)连结OD∵OB=OD∴∠OBD=∠BDO∵∠CDA=∠CBD∴∠CDA=∠ODB

∵AB⊙O的直径, ∴∠ADB=90°∴∠ADO+∠ODB=90°∴∠ADO+∠CDA=90°, 即∠CDO=90°

∴OD⊥CD∵OD⊙O半径, ∴CD⊙O的切线

2∵∠C=∠C∠CDA=∠CBD ∴△CDA∽△CBD ∴BC=6∴CD=4

∵CEBE⊙O的切线 ∴BE=DEBE⊥BC ∴BE2+BC2=EC2,即BE2+62=4+BE2 解得:BE=2.5

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