题目内容
如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-3，0）、B两点，与y轴相交于点C（0，| 3 |
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M、N时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得△ACF是等腰三角形？若不存在请说明理由；若存在，请求出F点坐标．
分析：（1）根据当x=-4和x=2时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值y相等，可以求得函数的对称轴，根据A、B对称，即可求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）根据M、N点的运动速度相同，可以得到BM=BN，进而根据翻折的性质证明，四边形BMPN是菱形，则△CPN相似于△CAB，根据相似三角形的性质，求得OD，PD的长度，则可以求得P的坐标；
（3）点F在对称轴上，则F的横坐标一定是-1，△ACF是等腰三角形，分AF=AC，CF=CA，EA=EC三种情况进行讨论，前两种情况利用t表示出AE，CE的长度，即可得到关于t的方程从而求解；第三种情况求得直线HF的解析式，再根据F的横坐标是-1，即可求解．
（2）根据M、N点的运动速度相同，可以得到BM=BN，进而根据翻折的性质证明，四边形BMPN是菱形，则△CPN相似于△CAB，根据相似三角形的性质，求得OD，PD的长度，则可以求得P的坐标；
（3）点F在对称轴上，则F的横坐标一定是-1，△ACF是等腰三角形，分AF=AC，CF=CA，EA=EC三种情况进行讨论，前两种情况利用t表示出AE，CE的长度，即可得到关于t的方程从而求解；第三种情况求得直线HF的解析式，再根据F的横坐标是-1，即可求解．
解答：
解：（1）由题意可得，对称轴为x=
=-1，
由对称性可得B点坐标为（1，0）
则设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），
又过点 C（0，
），代入可解得a=-
则解析式为y=-
(x+3)(x-1)，
即y=-
x2-
x+
（2）∵M、N点的运动速度相同，∴BM=BN=t，
又由翻折可得，NB=NP=t，MB=MP=t
∴四边形BMPN是菱形，∴PN平行MN（即x轴）
∴△CPN相似于△CAB．
∴
=
易得AB=4，BC=2
∴
=
解得t=
∴NB=
，∴CN=
∴
=
=
，
代入可解得CD=
，DN=
∴OD=
，PD=1
∴P(-1，
)
（3）在直角△AOC中，AC=
=
=2
．
设F点坐标为（1，a）
①当AF=AC时，∵AC=2
，∴AE=
=2
解得：a=±2
∴F（-1，2
）或（-1，-2
）；
②当CF=CA时，∴CE=
=2
解得：a=
±
．
则F的坐标是（-1，
+
）或（-1，
-
）；
③当EA=EC时，E点为AC垂直平分线与对称轴的交点，中点H的坐标是（-
，
）．
设直线AC的解析式是：y=kx+b，根据题意得：
，解得：
，
则AC的解析式是：y=
x+
．
∵F点为AC垂直平分线与对称轴的交点，
∴直线HF的一次项系数是-
．
设HF的解析式是y=-
x+c，把H的坐标代入得：-
×（-
）+c=
，解得：c=-
，
则HF的解析式是：y=-
x-
．
令x=-1，解得y=0，
则F的坐标是（-1，0）．
总之，F的坐标是：（-1，2
）或（-1，-2
）或（-1，
+
）或（-1，
-
）或（-1，0）．
解：（1）由题意可得，对称轴为x=| -4+2 |
| 2 |
由对称性可得B点坐标为（1，0）
则设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），
又过点 C（0，
| 3 |
| ||
| 3 |
则解析式为y=-
| ||
| 3 |
即y=-
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 3 |
（2）∵M、N点的运动速度相同，∴BM=BN=t，
又由翻折可得，NB=NP=t，MB=MP=t
∴四边形BMPN是菱形，∴PN平行MN（即x轴）
∴△CPN相似于△CAB．
∴
| PN |
| AB |
| CN |
| CB |
∴
| t |
| 4 |
| 2-t |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴
| CN |
| CB |
| CD |
| CO |
| DN |
| OB |
代入可解得CD=
| ||
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴OD=
2
| ||
| 3 |
∴P(-1，
2
| ||
| 3 |
（3）在直角△AOC中，AC=
| OA2+OC2 |
| 9+3 |
| 3 |
设F点坐标为（1，a）
①当AF=AC时，∵AC=2
| 3 |
| (-1+3)2+a2 |
| 3 |
解得：a=±2
| 2 |
∴F（-1，2
| 2 |
| 2 |
②当CF=CA时，∴CE=
12+(a-
|
| 3 |
解得：a=
| 3 |
| 11 |
则F的坐标是（-1，
| 3 |
| 11 |
| 3 |
| 11 |
③当EA=EC时，E点为AC垂直平分线与对称轴的交点，中点H的坐标是（-
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
设直线AC的解析式是：y=kx+b，根据题意得：
|
|
则AC的解析式是：y=
| ||
| 3 |
| 3 |
∵F点为AC垂直平分线与对称轴的交点，
∴直线HF的一次项系数是-
| 3 |
设HF的解析式是y=-
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
则HF的解析式是：y=-
| 3 |
| 3 |
令x=-1，解得y=0，
则F的坐标是（-1，0）．
总之，F的坐标是：（-1，2
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 11 |
| 3 |
| 11 |
点评：本题是考查了二次函数与菱形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式的综合应用，正确证明四边形BMPN是菱形是关键．
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