题目内容
已知:如图,正方形ABCD,对角线AC、BD相交于O,Q为线段DB上的一点,∠MQN=90°,点M、N分别在直线BC、DC上,
(1)如图1,当Q为线段OD的中点时,求证:DN+
BM=
BC;
(2)如图2,当Q为线段OB的中点,点N在CD的延长线上时,则线段DN、BM、BC的数量关系为
(3)在(2)的条件下,连接MN,交AD、BD于点E、F,若MB:MC=3:1,NQ=9
,求EF的长.
(1)如图1,当Q为线段OD的中点时,求证:DN+
1 |
3 |
1 |
2 |
(2)如图2,当Q为线段OB的中点,点N在CD的延长线上时,则线段DN、BM、BC的数量关系为
BM-
DN=
BC
1 |
3 |
1 |
2 |
BM-
DN=
BC
;1 |
3 |
1 |
2 |
(3)在(2)的条件下,连接MN,交AD、BD于点E、F,若MB:MC=3:1,NQ=9
5 |
分析:(1)如图1,过Q点作QP⊥BD交DC于P,然后根据正方形的性质证明△QPN∽△QBM,就可以得出结论;
(2)如图2,过Q点作QH⊥BD交BC于H,通过证明△QHM∽△QDN,由相似三角形的性质就可以得出结论;
(3)由条件设CM=x,MB=3x,就用CB=4x,得出BH=2x,由(2)相似的性质可以求出MQ的值,再根据勾股定理就可以求出MN的值,可以表示出ND,由△NDE∽△NCM就可以求出NE,也可以表示出DE,最后由△DEF∽△BMF而求出结论.
(2)如图2,过Q点作QH⊥BD交BC于H,通过证明△QHM∽△QDN,由相似三角形的性质就可以得出结论;
(3)由条件设CM=x,MB=3x,就用CB=4x,得出BH=2x,由(2)相似的性质可以求出MQ的值,再根据勾股定理就可以求出MN的值,可以表示出ND,由△NDE∽△NCM就可以求出NE,也可以表示出DE,最后由△DEF∽△BMF而求出结论.
解答:解:(1)如图1,过Q点作QP⊥BD交DC于P,
∴∠PQB=90°.
∵∠MQN=90°,
∴∠NQP=∠MQB,
∵四边形ABCD是正方形,
∴CD=CB,∠BDC=∠DBC=45°.DO=BO
∴∠DPQ=45°,DQ=PQ.
∴∠DPQ=∠DBC,
∴△QPN∽△QBM,
∴
=
.
∵Q是OD的中点,且PQ⊥BD,
∴DO=2DQ,DP=
DC
∴BQ=3DQ.DN+NP=
BC,
∴BQ=3PQ,
∴
=
,
∴NP=
BM.
∴DN+
BM=
BC.
(2)如图2,过Q点作QH⊥BD交BC于H,
∴∠BQH=∠DQH=90°,
∴∠BHQ=45°.
∵∠COB=45°,
∴QH∥OC.
∵Q是OB的中点,
∴BH=CH=
BC.
∵∠NQM=90°,
∴∠NQD=∠MQH,
∵∠QND+∠NQD=45°,∠MQH+∠QMH=45°
∴∠QND=∠QMH,
∴△QHM∽△QDN,
∴
=
=
=
,
∴HM=
ND,
∵BM-HM=HB,
∴BM-
DN=
BC.
故答案为:BM-
DN=
BC
(3)∵MB:MC=3:1,设CM=x,
∴MB=3x,
∴CB=CD=4x,
∴PB=2x,
∴PM=x.
∵HM=
ND,
∴ND=3x,
∴CN=7x
∵四边形ABCD是正方形,
∴ED∥BC,
∴△NDE∽△NCM,△DEF∽△BMF,
∴
=
=
,
=
,
∴
=
,
=
∴DE=
x,
∴
=
=
∵NQ=9
,
∴QM=3
,
在Rt△MNQ中,由勾股定理得:
MN=
=15
.
∴
=
,
∴NE=
∴EM=
设EF=a,则FM=7a,
∴a+7a=
∴a=
∴∠PQB=90°.
∵∠MQN=90°,
∴∠NQP=∠MQB,
∵四边形ABCD是正方形,
∴CD=CB,∠BDC=∠DBC=45°.DO=BO
∴∠DPQ=45°,DQ=PQ.
∴∠DPQ=∠DBC,
∴△QPN∽△QBM,
∴
NP |
MB |
PQ |
QB |
∵Q是OD的中点,且PQ⊥BD,
∴DO=2DQ,DP=
1 |
2 |
∴BQ=3DQ.DN+NP=
1 |
2 |
∴BQ=3PQ,
∴
NP |
MB |
1 |
3 |
∴NP=
1 |
3 |
∴DN+
1 |
3 |
1 |
2 |
(2)如图2,过Q点作QH⊥BD交BC于H,
∴∠BQH=∠DQH=90°,
∴∠BHQ=45°.
∵∠COB=45°,
∴QH∥OC.
∵Q是OB的中点,
∴BH=CH=
1 |
2 |
∵∠NQM=90°,
∴∠NQD=∠MQH,
∵∠QND+∠NQD=45°,∠MQH+∠QMH=45°
∴∠QND=∠QMH,
∴△QHM∽△QDN,
∴
HM |
ND |
QH |
DQ |
QM |
NQ |
1 |
3 |
∴HM=
1 |
3 |
∵BM-HM=HB,
∴BM-
1 |
3 |
1 |
2 |
故答案为:BM-
1 |
3 |
1 |
2 |
(3)∵MB:MC=3:1,设CM=x,
∴MB=3x,
∴CB=CD=4x,
∴PB=2x,
∴PM=x.
∵HM=
1 |
3 |
∴ND=3x,
∴CN=7x
∵四边形ABCD是正方形,
∴ED∥BC,
∴△NDE∽△NCM,△DEF∽△BMF,
∴
ND |
CN |
DE |
CM |
NE |
NM |
DE |
BM |
EF |
FM |
∴
3x |
7x |
DE |
x |
NE |
NM |
3 |
7 |
∴DE=
3 |
7 |
∴
| ||
3x |
EF |
FM |
1 |
7 |
∵NQ=9
5 |
∴QM=3
5 |
在Rt△MNQ中,由勾股定理得:
MN=
(9
|
2 |
∴
NE | ||
15
|
3 |
7 |
∴NE=
45
| ||
7 |
∴EM=
60
| ||
7 |
设EF=a,则FM=7a,
∴a+7a=
60
| ||
7 |
∴a=
15
| ||
14 |
点评:本题是一道相似的综合试题,考查了正方形的性质的运用,相似三角形的判定于性质的运用,勾股定理的运用及平行线等分线段定理的运用,在解答时利用三角形相似的性质求出线段的比是解答本题的关键.
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