Question

【题目】如图，直线l的解析式为y=x+b，它与坐标轴分别交于A、B两点，其中B坐标为（0，4）．

（1）求出A点的坐标；

（2）若点 P在y轴上，且到直线l的距离为3，试求点P的坐标；

（3）在第一象限的角平分线上是否存在点Q使得∠QBA=90°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）动点C从y轴上的点（0，10）出发，以每秒1cm的速度向y轴负半轴方向运动，求出点C运动中所有可能的时间t值，使得△ABC为轴对称图形．

Answer 1

【答案】（1）A（3，0）；（2）P（0，9）或（0，﹣1）；（3）存在，（16，16）；（4）1秒、秒、11秒、14秒

【解析】试题分析：（1）利用点B代入直线，求出直线解析式，然后求直线与x轴交点坐标；

（2）已知点到直线距离，可以做点到直线的垂线，构造直角三角形，利用三角形相似就出对应线段长度，继而求出点的坐标；

（3）点Q在第一象限角平分线上，设Q（x，x），已知给出了指定角，利用勾股定理列方程，即可求出点Q的坐标；

（4）题目求△ABC为轴对称图形，实质是求动点C，使△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形性质分类讨论即可求出点的坐标，利用点的坐标求出运动时间．

试题解析：解：（1）将点B（0，4）代入直线l的解析式得：b=4，∴直线l的解析式为：y=x+4，令y=0得：x=3，∴A（3，0）；

（2）如图，过点P做直线AB的垂线，垂足为D，∵OB=4，OA=3，∴AB=5，∵∠B是公共角，∠BDP=∠BOD，∴△BOA∽△BDP，∴ ，∴，∴BP=5，4+5=9，4﹣5=﹣1，∴P（0，9）或（0，﹣1）；

（3）存在．∵Q在第一象限的角平分线上，设Q（x，x），根据勾股定理：

QB2+BD2=QD2，x2+（x﹣4）2+52=x2+（x﹣3）2，解得x=16，故Q（16，16）；

（4）能使△ABC为轴对称图形，则得：△ABC为等腰三角形，当AB=BC时，C（0，9）或（0，﹣1），此时C点运动1秒或11秒，当AB=AC时，C（0，﹣4），此时C点运动14秒，当AC=BC时，C（0， ），此时C点运动秒．

综上所述：当C点运动1秒、秒、11秒、14秒时，能使△ABC为轴对称图形．