Question

已知二次函数y=x²+bx+c图象的对称轴是直线x=2，且过点A（0，3）．
（1）求b、c的值；
（2）求出该二次函数图象与x轴的交点B、C的坐标；
（3）如果某个一次函数图象经过坐标原点O和该二次函数图象的顶点M．问在这个一次函数图象上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）二次函数y=x²+bx+c图象的对称轴是直线x=2，且过点A（0，3），
代入得：-=2，3=c，
解得：b=-4，c=3，
答：b=-4，c=3．

（2）把b=-4，c=3代入得：y=x²-4x+3，
当y=0时，x²-4x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=1，
B？（3，0），C（1，0），
答：二次函数图象与x轴的交点B、C的坐标分别是（3，0），（1，0）．

（3）存在：
理由是：y=x²-4x+3，
=（x-2）²-1，
顶点坐标是（2，-1），
设一次函数的解析式是y=kx+b，
把（0，0），（2，-1）代入得：
，
解得：，
∴y=-x，
设P点的坐标是（x，-x），
取BC的中点M，以M为圆心，以BM为半径画弧交直线于Q、H，
则Q、H符合条件，由勾股定理得；
（x-2）²+=1²，
解得：x₁=，x₂=2，
∴Q（，-），H（2，-1）；
过B作BF⊥X轴交直线于F，
把x=3代入y=-x得：y=-，
∴F（3，-），
过C作CE⊥X轴交直线于E，
同法可求：E（1，-），
∴P的坐标是（，-）或（2，-1）或（3，-）或（1，-）．
答：存在，P的坐标是（，-）或（2，-1）或（3，-）或（1，-）．
分析：（1）把点A的坐标和对称轴代入即可；
（2）把y=0代入解一元二次方程即可；
（3）根据直角三角形的性质，设P点的坐标是（x，-x），由勾股定理即可求出Q、H的坐标；把x=1或3代入即可求出另外的坐标．
点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，直角三角形斜边上中线等知识点，解此题的关键是求出点P的坐标，此题难度较大．用的数学思想是分类讨论思想．