Question

【题目】如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当AB=4 ，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OD，

∵AB是⊙O的直径，D是AC的中点，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴OD⊥DE，

∵点D在圆上，

∴DE为⊙O的切线

（2）解：过点O作OF⊥AD，垂足为F，

∵OD∥BC，∠C=∠ODF=30°，

∴∠ADO=30°，

∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA=30°，

∴∠A=∠C，

∴AB=BC=4 ，

∴OD=2 ，∠AOD=120°，OF= ，

∴AF=3，AD=6，

∴S△AOD= ADOF= ×6× =3 ，

∴阴影部分面积S= ﹣3 =4

【解析】（1）连接OD，利用平行线的判定定理可以得到∠ODE=∠DEC=90°，从而判断DE是圆的切线；（2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，根据等腰三角形的性质得到∠AOD=120°，然后求得阴影部分面积即可．
【考点精析】利用切线的判定定理和扇形面积计算公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）．