题目内容

【题目】在平面直角坐标系xOy中,对于线段MN三等分变换,给出如下定义:如图1,点PQ为线段MN的三等分点,即MPPQQN,将线段PM以点P为旋转中心顺时针旋转90°得到PM,将线段QN以点Q为旋转中心顺时针旋转90°得到QN,则称线段MN进行了三等分变换,其中MN记为点MN三等分变换后的对应点.

例如:如图2,线段MN,点M的坐标为(15),点N的坐标为(12),则点P的坐标为(14),点Q的坐标为(13),那么线段MN三等分变换后,可得:M的坐标为(24),点N的坐标为(03.

1)若点P的坐标为(20),点Q的坐标为(40),直接写出点M与点N的坐标;

2)若点Q的坐标是(0,﹣),点Px轴正半轴上,点N在第二象限.当线段PQ的长度为符合条件的最小整数时,求OP的长;

3)若点Q的坐标为(00),点M的坐标为(﹣3,﹣3),直接写出点P与点N的坐标;

4)点P是以原点O为圆心,1为半径的圆上的一个定点,点P的坐标为()当点N在圆O内部或圆上时,求线段PQ的取值范围及PQ取最大值时点M的坐标.

【答案】1M22),N4,﹣2);(2;(3P0,﹣3),N03);(4)(

【解析】

1)根据三等分变换的定义,可知M22),N′4,﹣2);(2)若点Q的坐标是(0,﹣),点Px轴正半轴上,点N′在第二象限.当线段PQ的长度为符合条件的最小整数时,求OP的长;

3)若点Q的坐标为(00),点M′的坐标为(﹣3,﹣3),直接写出点P与点N的坐标;(4)如图3中,过点PPAx轴于点A.RtOAP中,由勾股定理,OP,在PQN′中,∠PQN′90°PQQN′,推出点N′在⊙O内部或在⊙O上运动,当PN′为⊙O直径时,PN′最大,推出∠QPN′45°推出PQPN′,推出PQ的取值范围:0PQ≤,由P,﹣),由对称性可知N′(﹣),再根据平行四边形的性质求出点M′坐标即可.

解:(1)∵PQ2,根据三等分变换的定义,可知M22),N′4,﹣2.

2)①当PQ1时,OQ

RTOPQ中,如图1中,

OPOQ

∴∠OQP=∠OPQ45°

∵∠PQN′90°PQQ N′

∴点N’x轴负半轴上,不在第二象限

PQ1不符合题意.

②当PQ2

OP

此时,点N′在第二象限符合题意.

3)如图2中,由图象可知,P0,﹣3),N03.

4)如图3中,过点PPAx轴于点A.

RtOAP中,由勾股定理,OP

PQN′中,∠PQN′90°PQQN'

N'在⊙O内部或在⊙O上运动,当PN′为⊙O直径时,PN′最大

QPN′45°

PQPN′

PQ的取值范围:0PQ≤

P,﹣

由对称性可知N′(﹣

过点N′N′Ex轴于点E,过点QQFx轴于点F

易证ON′E≌△QOF

OFEN′FQOE

Q(﹣,﹣

∵∠N′QP=∠QP M′90°

N′QPM′

又∵N′QPM′

∴四边形PN′QM′是平行四边形,对角线的交点为J,设M′mn

J,﹣),

则有

解得

∴点M′的坐标为(.

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