题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,对于线段MN的“三等分变换”,给出如下定义:如图1,点P,Q为线段MN的三等分点,即MP=PQ=QN,将线段PM以点P为旋转中心顺时针旋转90°得到PM′,将线段QN以点Q为旋转中心顺时针旋转90°得到QN′,则称线段MN进行了三等分变换,其中M′,N′记为点M,N三等分变换后的对应点.
例如:如图2,线段MN,点M的坐标为(1,5),点N的坐标为(1,2),则点P的坐标为(1,4),点Q的坐标为(1,3),那么线段MN三等分变换后,可得:M′的坐标为(2,4),点N′的坐标为(0,3).
(1)若点P的坐标为(2,0),点Q的坐标为(4,0),直接写出点M′与点N′的坐标;
(2)若点Q的坐标是(0,﹣),点P在x轴正半轴上,点N′在第二象限.当线段PQ的长度为符合条件的最小整数时,求OP的长;
(3)若点Q的坐标为(0,0),点M′的坐标为(﹣3,﹣3),直接写出点P与点N的坐标;
(4)点P是以原点O为圆心,1为半径的圆上的一个定点,点P的坐标为(,
)当点N′在圆O内部或圆上时,求线段PQ的取值范围及PQ取最大值时点M′的坐标.
【答案】(1)M(2,2),N′(4,﹣2);(2);(3)P(0,﹣3),N(0,3);(4)(
,
)
【解析】
(1)根据“三等分变换”的定义,可知M(2,2),N′(4,﹣2);(2)若点Q的坐标是(0,﹣),点P在x轴正半轴上,点N′在第二象限.当线段PQ的长度为符合条件的最小整数时,求OP的长;
(3)若点Q的坐标为(0,0),点M′的坐标为(﹣3,﹣3),直接写出点P与点N的坐标;(4)如图3中,过点P作PA⊥x轴于点A.在Rt△OAP中,由勾股定理,OP=,在△PQN′中,∠PQN′=90°,PQ=QN′,推出点N′在⊙O内部或在⊙O上运动,当PN′为⊙O直径时,PN′最大,推出∠QPN′=45°推出PQ=PN′=
,推出PQ的取值范围:0<PQ≤
,由P(
,﹣
),由对称性可知N′(﹣
,
),再根据平行四边形的性质求出点M′坐标即可.
解:(1)∵PQ=2,根据“三等分变换”的定义,可知M(2,2),N′(4,﹣2).
(2)①当PQ=1时,OQ=
在RT△OPQ中,如图1中,
∴OP=OQ
∴∠OQP=∠OPQ=45°
∵∠PQN′=90°PQ=Q N′
∴点N’在x轴负半轴上,不在第二象限
∴PQ=1不符合题意.
②当PQ=2时
OP=,
此时,点N′在第二象限符合题意.
(3)如图2中,由图象可知,P(0,﹣3),N(0,3).
(4)如图3中,过点P作PA⊥x轴于点A.
在Rt△OAP中,由勾股定理,OP=,
在△PQN′中,∠PQN′=90°,PQ=QN'
点N'在⊙O内部或在⊙O上运动,当PN′为⊙O直径时,PN′最大
∠QPN′=45°
∴PQ=PN′=,
∴PQ的取值范围:0<PQ≤,
∵P(,﹣
)
由对称性可知N′(﹣,
)
过点N′作N′E⊥x轴于点E,过点Q作QF⊥x轴于点F
易证△ON′E≌△QOF,
∴OF=EN′=,FQ=OE=
∴Q(﹣,﹣
)
∵∠N′QP=∠QP M′=90°
∴N′Q∥PM′,
又∵N′Q=PM′,
∴四边形PN′QM′是平行四边形,对角线的交点为J,设M′(m,n)
则J(,﹣
),
则有,
,
解得,
,
∴点M′的坐标为(,
).

【题目】某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的实验,结果如表所示:
种子个数 | 200 | 300 | 500 | 700 | 800 | 900 | 1000 |
发芽种子个数 | 187 | 282 | 435 | 624 | 718 | 814 | 901 |
发芽种子频率 | 0.935 | 0.940 | 0.870 | 0.891 | 0.898 | 0.904 | 0.901 |
下面有四个推断:①种子个数是700时,发芽种子的个数是624.所以种子发芽的概率是0.891;②随着参加实验的种子数量的增加,发芽种子的频率在0.9附近摆动,显示出一定的稳定性.可以估计种子发芽的概率约为0.9(精确到0.1);③实验的种子个数最多的那次实验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率;④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9,则可以估计种子大约有
的种子不能发芽.其中合理的是( )
A.①②B.③④C.②③D.②④