Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），∠OBA=90°，BC∥OA，OB=8，点E从点B出发，以每秒1个单位长度沿BC向点C运动，点F从点O出发，以每秒2个单位长度沿OB向点B运动．现点E、F同时出发，当点F到达点B时，E、F两点同时停止运动．
（1）求梯形OABC的高BG的长；
（2）连接E、F并延长交OA于点D，当E点运动到几秒时，四边形ABED是等腰梯形；
（3）动点E、F是否会同时在某个反比例函数的图象上？如果会，请直接写出这时动点E、F运动的时间t的值；如果不会，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据勾股定理求出AB的长度，再利用三角形的面积公式即可求出斜边上的高BG；
（2）利用相似三角形对应边成比例求出OD的长度，再根据等腰梯形的性质DH的长就等于AG，列出方程求解即可；
（3）假设会在同一反比例函数图象上，表示出点E、F的坐标则两点的横坐标与纵坐标的积等于定值，即相等，列出方程，如果方程有解，说明会在同一函数图象上，求出方程的解就是运动的时间，如果方程无解说明不会在同一函数图象上．

解答：解：（1）根据题意，AB=

AO2-OB2

=

102-82

=6，
∵2S_△AOB=AB•OB=AO•BG，
∴BG=

AB•OB

AO

=

6×8

10

=4.8；

（2）设当E点运动到x秒时，四边形ABED是等腰梯形，则BE=x，OF=2x，
∵BC∥OA，
∴

BE

OD

=

FB

OF

，即

x

OD

=

8-2x

2x

，
解得OD=

x2

4-x

，
过E作EH⊥OA于H，
∵四边形ABED是等腰梯形，
∴DH=AG=

AB2-BG2

=

62-4.82

=3.6，
HG=BE=x，
∴DH=10-

x2

4-x

-x-3.6=3.6，
解得x=

28

17

；

（3）会同时在某个反比例函数的图象上．
根据题意，OG=AO-AG=10-3.6=6.4，
∴点E（6.4-t，4.8），
∵OF=2t，
∴2tcos∠AOB=2t×

8

10

=

8

5

t，
2tsin∠AOB=2t×

6

10

=

6

5

t，
∴点F的坐标为（

8

5

t，

6

5

t）
假设能在同一反比例函数图象上，则

8

5

t×

6

5

t=（6.4-t）×4.8，
整理得：2t²+5t-32=0，
△=25-4×2×（-32）=281＞0，
∴方程有解，即E、F会同时在某一反比例函数图象上，
此时，t=

-5+ 281

4

，
因此E、F会同时在某个反比例函数的图象上，t=

-5+ 281

4

．

点评：本题主要考查勾股定理的运用、相似三角形对应边成比例、等腰梯形的性质和一元二次方程的解的情况，在平时的学习中需要多加练习熟练掌握．